Chào các em, thầy là giáo viên Toán lớp 9. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài rất hay, giúp chúng ta vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Trước hết, thầy nghĩ đề bài có một chút nhầm lẫn nhỏ. Có lẽ ý của đề là chứng minh biểu thức là một “số chính phương” (tức là bình phương của một số hữu tỉ), chứ không phải “số công phương”. Chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh điều đó nhé.

Phân tích và hướng dẫn giải

Bước 1: Biến đổi giả thiết

Đầu tiên, chúng ta sẽ xuất phát từ giả thiết mà đề bài cho:
\[ \frac{1}{a} + \frac{1}{2b} = \frac{1}{3c} \]
Mục tiêu của chúng ta là biến đổi biểu thức này để loại bỏ dạng phân số và tìm ra một mối liên hệ tường minh hơn giữa \(a, b, c\).

Ta tiến hành quy đồng mẫu số của vế trái:
\[ \frac{2b}{2ab} + \frac{a}{2ab} = \frac{1}{3c} \]
\[ \frac{a+2b}{2ab} = \frac{1}{3c} \]
Bây giờ, ta thực hiện nhân chéo hai vế:
\[ 3c(a+2b) = 1(2ab) \]
\[ 3ac + 6bc = 2ab \]
Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, ta được một đẳng thức rất quan trọng:
\[ 2ab – 3ac – 6bc = 0 \]
Chúng ta hãy ghi nhớ đẳng thức này, thầy sẽ gọi nó là (1).

Bước 2: Phân tích biểu thức cần chứng minh và liên kết với hằng đẳng thức

Biểu thức chúng ta cần chứng minh là một số chính phương là: \( a^2 + 4b^2 + 9c^2 \).

Các em hãy để ý, các hạng tử trong biểu thức này rất đặc biệt. Ta có:

– \( a^2 \)

– \( 4b^2 = (2b)^2 \)

– \( 9c^2 = (3c)^2 \)

Điều này gợi ý cho chúng ta liên tưởng đến hằng đẳng thức bình phương của một tổng ba số mà các em đã học ở lớp 8:
\[ (x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx \]
Trong bài toán của chúng ta, các “nhân vật” chính là \(a\), \(2b\), và \(3c\).

Bước 3: Kết hợp giả thiết và biểu thức để chứng minh

Bây giờ, chúng ta sẽ thử xét bình phương của một biểu thức có chứa \(a\), \(2b\), và \(3c\). Dựa vào các dấu trong đẳng thức (1), chúng ta hãy thử khai triển biểu thức \( (a+2b-3c)^2 \).

Ta có:
\[ (a+2b-3c)^2 = a^2 + (2b)^2 + (-3c)^2 + 2(a)(2b) + 2(a)(-3c) + 2(2b)(-3c) \]
Khai triển ra, ta được:
\[ (a+2b-3c)^2 = (a^2 + 4b^2 + 9c^2) + 4ab – 6ac – 12bc \]
Các em thấy không? Biểu thức \(a^2 + 4b^2 + 9c^2\) mà chúng ta đang quan tâm đã xuất hiện!

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét phần còn lại: \( 4ab – 6ac – 12bc \).
Ta có thể đặt nhân tử chung là 2 ra ngoài:
\[ 4ab – 6ac – 12bc = 2(2ab – 3ac – 6bc) \]
À, đến đây các em đã nhận ra điều quen thuộc chưa? Biểu thức trong ngoặc chính là vế trái của đẳng thức (1) mà chúng ta đã tìm được ở Bước 1.

Theo (1), ta có: \( 2ab – 3ac – 6bc = 0 \).
Do đó, phần còn lại của chúng ta sẽ bằng:
\[ 2(2ab – 3ac – 6bc) = 2 \cdot 0 = 0 \]
Thay kết quả này vào phép khai triển ở trên, ta có:
\[ (a+2b-3c)^2 = (a^2 + 4b^2 + 9c^2) + 0 \]
\[ \Rightarrow a^2 + 4b^2 + 9c^2 = (a+2b-3c)^2 \]

Bước 4: Kết luận

Chúng ta đã chứng minh được rằng \( a^2 + 4b^2 + 9c^2 \) bằng bình phương của biểu thức \( (a+2b-3c) \).

Vì \(a, b, c\) là các số (thường là số hữu tỉ trong các dạng bài này), nên \( a+2b-3c \) cũng là một số hữu tỉ. Bình phương của một số hữu tỉ là một số chính phương.

Vậy, \( a^2 + 4b^2 + 9c^2 \) là một số chính phương. (Điều phải chứng minh).

Chúc các em học tốt! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé.