Chào các em, cô là giáo viên Toán lớp 9 đây. Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài tập về căn bậc hai, đặc biệt là bài tập có dạng \(\sqrt{A \pm \sqrt{B}}\) hoặc \(\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}\). Dạng bài này khá phổ biến trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta và nếu nắm vững phương pháp, các em sẽ thấy nó không hề khó.

Chúng ta sẽ đi vào từng bài một nhé.

Bài 1: \(\sqrt{10+4\sqrt{6}}\)

Đây là bài tập có dạng \(\sqrt{A+2\sqrt{B}}\). Để giải bài này, chúng ta sẽ tìm cách đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu.
Nhớ lại hằng đẳng thức: \((\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}\).
Và \((\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 = a + b – 2\sqrt{ab}\).

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn.
Ta có: \(10+4\sqrt{6} = 10+2 \cdot 2\sqrt{6} = 10+2\sqrt{4 \cdot 6} = 10+2\sqrt{24}\).
Bây giờ, chúng ta cần tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a+b=10\) và \(ab=24\).
Chúng ta có thể nhẩm hoặc phân tích số 24 ra các thừa số. Các cặp thừa số của 24 là (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6).
Kiểm tra tổng của các cặp này:
1+24 = 25 (không phải 10)
2+12 = 14 (không phải 10)
3+8 = 11 (không phải 10)
4+6 = 10 (đúng!)

Vậy, ta có \(a=6\) và \(b=4\) (hoặc ngược lại, không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng vì phép cộng có tính giao hoán).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức.
\(10+2\sqrt{24} = 6+4+2\sqrt{6 \cdot 4} = (\sqrt{6}+\sqrt{4})^2\).

Bước 3: Tính căn bậc hai.
\(\sqrt{10+4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{6}+\sqrt{4})^2} = |\sqrt{6}+\sqrt{4}|\).
Vì \(\sqrt{6}\) và \(\sqrt{4}\) đều là số dương, nên \(\sqrt{6}+\sqrt{4} > 0\).
Do đó, \(|\sqrt{6}+\sqrt{4}| = \sqrt{6}+\sqrt{4} = \sqrt{6}+2\).

Vậy, \(\sqrt{10+4\sqrt{6}} = 2+\sqrt{6}\).

Bài 2: \(\sqrt{14-4\sqrt{6}}\)

Bài này tương tự bài 1, nhưng là dạng \(\sqrt{A-2\sqrt{B}}\). Chúng ta vẫn sử dụng hằng đẳng thức \((\sqrt{a} – \sqrt{b})^2 = a + b – 2\sqrt{ab}\).

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn.
Ta có: \(14-4\sqrt{6} = 14-2 \cdot 2\sqrt{6} = 14-2\sqrt{4 \cdot 6} = 14-2\sqrt{24}\).
Chúng ta cần tìm hai số \(a\) và \(b\) sao cho \(a+b=14\) và \(ab=24\).
Từ bài 1, chúng ta đã biết các cặp thừa số của 24. Bây giờ ta kiểm tra tổng của chúng:
1+24 = 25
2+12 = 14 (đúng!)
3+8 = 11
4+6 = 10

Vậy, ta có \(a=12\) và \(b=2\).

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức.
\(14-2\sqrt{24} = 12+2-2\sqrt{12 \cdot 2} = (\sqrt{12}-\sqrt{2})^2\).

Bước 3: Tính căn bậc hai.
\(\sqrt{14-4\sqrt{6}} = \sqrt{(\sqrt{12}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{12}-\sqrt{2}|\).
Để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xem \(\sqrt{12}-\sqrt{2}\) dương hay âm.
Ta có \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\).
Vậy \(\sqrt{12}-\sqrt{2} = 2\sqrt{3}-\sqrt{2}\).
Vì \(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}\) và \(\sqrt{2}\). Rõ ràng \(\sqrt{12} > \sqrt{2}\), nên \(2\sqrt{3}-\sqrt{2} > 0\).
Do đó, \(|\sqrt{12}-\sqrt{2}| = \sqrt{12}-\sqrt{2}\).
Ta có thể rút gọn \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).
Vậy kết quả là \(2\sqrt{3}-\sqrt{2}\).

Hoặc, nếu ta chọn \(a=2\) và \(b=12\) thì:
\(14-2\sqrt{24} = 2+12-2\sqrt{2 \cdot 12} = (\sqrt{12}-\sqrt{2})^2\). Kết quả vẫn như trên.

Vậy, \(\sqrt{14-4\sqrt{6}} = 2\sqrt{3}-\sqrt{2}\).

Bài 3: \(\sqrt{6-4\sqrt{2}} – \sqrt{7-4\sqrt{3}}\)

Bài này gồm hai phần, mỗi phần là một biểu thức căn giống như bài 1 và 2. Chúng ta sẽ tính từng phần rồi lấy hiệu.

Phần 1: \(\sqrt{6-4\sqrt{2}}\)
Ta biến đổi: \(6-4\sqrt{2} = 6-2 \cdot 2\sqrt{2} = 6-2\sqrt{4 \cdot 2} = 6-2\sqrt{8}\).
Tìm hai số \(a, b\) sao cho \(a+b=6\) và \(ab=8\).
Các cặp thừa số của 8 là (1, 8), (2, 4).
Kiểm tra tổng: 1+8=9, 2+4=6.
Vậy \(a=4, b=2\).
Ta có: \(6-2\sqrt{8} = 4+2-2\sqrt{4 \cdot 2} = (\sqrt{4}-\sqrt{2})^2\).
Vậy, \(\sqrt{6-4\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{4}-\sqrt{2}| = |2-\sqrt{2}|\).
Vì \(2 = \sqrt{4}\) và \(\sqrt{4} > \sqrt{2}\), nên \(2-\sqrt{2} > 0\).
Do đó, \(|2-\sqrt{2}| = 2-\sqrt{2}\).

Phần 2: \(\sqrt{7-4\sqrt{3}}\)
Ta biến đổi: \(7-4\sqrt{3} = 7-2 \cdot 2\sqrt{3} = 7-2\sqrt{4 \cdot 3} = 7-2\sqrt{12}\).
Tìm hai số \(a, b\) sao cho \(a+b=7\) và \(ab=12\).
Các cặp thừa số của 12 là (1, 12), (2, 6), (3, 4).
Kiểm tra tổng: 1+12=13, 2+6=8, 3+4=7.
Vậy \(a=4, b=3\).
Ta có: \(7-2\sqrt{12} = 4+3-2\sqrt{4 \cdot 3} = (\sqrt{4}-\sqrt{3})^2\).
Vậy, \(\sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{4}-\sqrt{3}| = |2-\sqrt{3}|\).
Vì \(2 = \sqrt{4}\) và \(\sqrt{4} > \sqrt{3}\), nên \(2-\sqrt{3} > 0\).
Do đó, \(|2-\sqrt{3}| = 2-\sqrt{3}\).

Bước cuối: Lấy hiệu hai phần.
\(\sqrt{6-4\sqrt{2}} – \sqrt{7-4\sqrt{3}} = (2-\sqrt{2}) – (2-\sqrt{3})\).
\(= 2-\sqrt{2} – 2 + \sqrt{3} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\).

Vậy, \(\sqrt{6-4\sqrt{2}} – \sqrt{7-4\sqrt{3}} = \sqrt{3}-\sqrt{2}\).

Bài 4: \(\sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}}\)

Bài này có dạng \(\sqrt{A-\sqrt{B}} + \sqrt{A+\sqrt{B}}\). Đối với dạng này, chúng ta có một cách giải chung là bình phương biểu thức lên.

Đặt \(X = \sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}}\).
Bình phương hai vế:
\(X^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}})^2\)
\(X^2 = (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 + (\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 + 2 \cdot \sqrt{4-\sqrt{7}} \cdot \sqrt{4+\sqrt{7}}\)
\(X^2 = (4-\sqrt{7}) + (4+\sqrt{7}) + 2 \sqrt{(4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7})}\)

Phần dưới dấu căn thứ hai là dạng \((a-b)(a+b) = a^2-b^2\).
\((4-\sqrt{7})(4+\sqrt{7}) = 4^2 – (\sqrt{7})^2 = 16 – 7 = 9\).

Thay vào biểu thức của \(X^2\):
\(X^2 = 4-\sqrt{7} + 4+\sqrt{7} + 2\sqrt{9}\)
\(X^2 = 8 + 2 \cdot 3\)
\(X^2 = 8 + 6\)
\(X^2 = 14\).

Vì \(X = \sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}}\), và cả hai căn bậc hai đều là số dương, nên \(X\) phải là số dương.
Do đó, \(X = \sqrt{14}\).

Vậy, \(\sqrt{4-\sqrt{7}} + \sqrt{4+\sqrt{7}} = \sqrt{14}\).

Bài 5: \(\sqrt{2-\sqrt{3}} – \sqrt{2+\sqrt{3}}\)

Bài này tương tự bài 4, nhưng là hiệu. Chúng ta cũng dùng phương pháp bình phương.

Đặt \(Y = \sqrt{2-\sqrt{3}} – \sqrt{2+\sqrt{3}}\).
Bình phương hai vế:
\(Y^2 = (\sqrt{2-\sqrt{3}} – \sqrt{2+\sqrt{3}})^2\)
\(Y^2 = (\sqrt{2-\sqrt{3}})^2 + (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2 – 2 \cdot \sqrt{2-\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{3}}\)
\(Y^2 = (2-\sqrt{3}) + (2+\sqrt{3}) – 2 \sqrt{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}\)

Phần dưới dấu căn thứ hai:
\((2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3}) = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1\).

Thay vào biểu thức của \(Y^2\):
\(Y^2 = 2-\sqrt{3} + 2+\sqrt{3} – 2\sqrt{1}\)
\(Y^2 = 4 – 2 \cdot 1\)
\(Y^2 = 4 – 2\)
\(Y^2 = 2\).

Bây giờ, chúng ta cần xác định dấu của \(Y\).
\(Y = \sqrt{2-\sqrt{3}} – \sqrt{2+\sqrt{3}}\).
Ta cần so sánh \(2-\sqrt{3}\) và \(2+\sqrt{3}\).
Rõ ràng, \(2-\sqrt{3} < 2+\sqrt{3}\) vì \(-\sqrt{3} < \sqrt{3}\). Do đó, \(\sqrt{2-\sqrt{3}} < \sqrt{2+\sqrt{3}}\). Suy ra, \(\sqrt{2-\sqrt{3}} - \sqrt{2+\sqrt{3}} < 0\). Vậy \(Y\) là số âm. Vì \(Y^2 = 2\) và \(Y < 0\), nên \(Y = -\sqrt{2}\). Vậy, \(\sqrt{2-\sqrt{3}} - \sqrt{2+\sqrt{3}} = -\sqrt{2}\). Bài 6: \(\sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}}\)

Bài này cũng có dạng \(\sqrt{A-\sqrt{B}} + \sqrt{A+\sqrt{B}}\), tương tự bài 4.

Đặt \(Z = \sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}}\).
Bình phương hai vế:
\(Z^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}})^2\)
\(Z^2 = (\sqrt{3-\sqrt{5}})^2 + (\sqrt{3+\sqrt{5}})^2 + 2 \cdot \sqrt{3-\sqrt{5}} \cdot \sqrt{3+\sqrt{5}}\)
\(Z^2 = (3-\sqrt{5}) + (3+\sqrt{5}) + 2 \sqrt{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})}\)

Phần dưới dấu căn thứ hai:
\((3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5}) = 3^2 – (\sqrt{5})^2 = 9 – 5 = 4\).

Thay vào biểu thức của \(Z^2\):
\(Z^2 = 3-\sqrt{5} + 3+\sqrt{5} + 2\sqrt{4}\)
\(Z^2 = 6 + 2 \cdot 2\)
\(Z^2 = 6 + 4\)
\(Z^2 = 10\).

Vì \(Z = \sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}}\), và cả hai căn bậc hai đều là số dương, nên \(Z\) phải là số dương.
Do đó, \(Z = \sqrt{10}\).

Vậy, \(\sqrt{3-\sqrt{5}} + \sqrt{3+\sqrt{5}} = \sqrt{10}\).

Các em thấy đấy, với những bài toán căn thức như thế này, chìa khóa chính là nhận diện đúng dạng bài và áp dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu.
Nếu có bất kỳ chỗ nào chưa hiểu, các em cứ mạnh dạn hỏi cô nhé!