Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán về giới hạn dãy số rất thú vị. Cô giáo sẽ hướng dẫn chi tiết từng bước để các em hiểu rõ bản chất nhé!

Bài 1: Tìm giới hạn của dãy số (Un) với Un = 1/n^2 + 3/n^2 + … + (2n-1)/n^2

Trước hết, chúng ta cùng quan sát dãy số Un. Các em thấy tử số của các phân số đang tuân theo một quy luật gì?
Đó là một cấp số cộng với số hạng đầu là 1, công sai là 2, và số hạng cuối là 2n-1.
Để tính tổng này, chúng ta cần biết có bao nhiêu số hạng trong tổng.

Ta nhận thấy rằng, nếu tử số là 1, 3, 5, …, (2n-1), thì đây là n số hạng.
Ví dụ:
Nếu n=1, tử số là 1. Có 1 số hạng.
Nếu n=2, tử số là 1, 3. Có 2 số hạng.
Nếu n=3, tử số là 1, 3, 5. Có 3 số hạng.
Vậy, ta có n số hạng trong tổng này.

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức tính tổng của một cấp số cộng:
Tổng S = (Số hạng đầu + Số hạng cuối) * Số lượng số hạng / 2

Trong trường hợp này:
Số hạng đầu là 1.
Số hạng cuối là 2n-1.
Số lượng số hạng là n.

Vậy, tổng tử số là:
S_tử = (1 + (2n-1)) * n / 2
S_tử = (2n) * n / 2
S_tử = n^2

Bây giờ, chúng ta quay lại biểu thức của Un:
Un = (1/n^2) + (3/n^2) + … + ((2n-1)/n^2)
Chúng ta có thể nhóm các tử số lại vì mẫu số giống nhau:
Un = (1 + 3 + … + (2n-1)) / n^2

Thay tổng tử số mà chúng ta vừa tính được vào:
Un = n^2 / n^2
Un = 1

Bây giờ, chúng ta cần tìm giới hạn của Un khi n tiến ra vô cùng:
lim (Un) = lim (1)

Khi n tiến đến vô cùng, giá trị của Un luôn bằng 1. Do đó, giới hạn của Un là 1.
Vậy, lim Un = 1.

Bài 2: Tìm giới hạn của biểu thức A_n = (1 – 1/2^2).(1 – 1/3^2)…(1 – 1/n^2)

Trước hết, chúng ta hãy cùng xem xét từng thừa số trong biểu thức A_n.
Thừa số thứ nhất: \(1 – \frac{1}{2^2}\)
Thừa số thứ hai: \(1 – \frac{1}{3^2}\)
…
Thừa số thứ n: \(1 – \frac{1}{n^2}\)

Chúng ta sẽ tìm cách biến đổi từng thừa số này. Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\) với \(a=1\) và \(b=\frac{1}{k}\) (với k là số hạng trong mẫu).

Thừa số thứ k sẽ là:
\(1 – \frac{1}{k^2} = 1^2 – \left(\frac{1}{k}\right)^2 = \left(1 – \frac{1}{k}\right)\left(1 + \frac{1}{k}\right)\)

Bây giờ, chúng ta viết lại biểu thức A_n bằng cách áp dụng biến đổi này cho từng thừa số:
A_n = \(\left(1 – \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{2}\right) \times \left(1 – \frac{1}{3}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right) \times \dots \times \left(1 – \frac{1}{n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm các biểu thức \(\left(1 – \frac{1}{k}\right)\) lại với nhau và các biểu thức \(\left(1 + \frac{1}{k}\right)\) lại với nhau:
A_n = \(\left[\left(1 – \frac{1}{2}\right)\left(1 – \frac{1}{3}\right)\dots\left(1 – \frac{1}{n}\right)\right] \times \left[\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\dots\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right]\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của hai nhóm ngoặc này:

Nhóm thứ nhất: \(\left(1 – \frac{1}{2}\right)\left(1 – \frac{1}{3}\right)\dots\left(1 – \frac{1}{n}\right)\)
\(1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)
\(1 – \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
\(1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
…
\(1 – \frac{1}{n} = \frac{n-1}{n}\)

Nhóm thứ nhất này trở thành: \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \dots \times \frac{n-1}{n}\)
Đây là một tích “rút gọn xiên”. Các tử số sẽ lần lượt triệt tiêu với mẫu số của phân số đứng trước nó.
\(\frac{1}{\cancel{2}} \times \frac{\cancel{2}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{3}}{\cancel{4}} \times \dots \times \frac{\cancel{n-1}}{n}\)
Vậy, nhóm thứ nhất có giá trị là \(\frac{1}{n}\).

Nhóm thứ hai: \(\left(1 + \frac{1}{2}\right)\left(1 + \frac{1}{3}\right)\dots\left(1 + \frac{1}{n}\right)\)
\(1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)
\(1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
\(1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}\)
…
\(1 + \frac{1}{n} = \frac{n+1}{n}\)

Nhóm thứ hai này trở thành: \(\frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \frac{5}{4} \times \dots \times \frac{n+1}{n}\)
Đây cũng là một tích “rút gọn xiên”. Các mẫu số sẽ lần lượt triệt tiêu với tử số của phân số đứng sau nó.
\(\frac{\cancel{3}}{2} \times \frac{\cancel{4}}{\cancel{3}} \times \frac{\cancel{5}}{\cancel{4}} \times \dots \times \frac{n+1}{\cancel{n}}\)
Sau khi rút gọn, ta còn lại \(\frac{n+1}{2}\).

Bây giờ, chúng ta nhân hai kết quả của hai nhóm lại để có A_n:
A_n = \(\frac{1}{n} \times \frac{n+1}{2}\)
A_n = \(\frac{n+1}{2n}\)

Cuối cùng, chúng ta tìm giới hạn của A_n khi n tiến ra vô cùng:
lim (A_n) = lim \(\frac{n+1}{2n}\)

Để tìm giới hạn này, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n trong mẫu, đó là n:
lim \(\frac{n+1}{2n}\) = lim \(\frac{\frac{n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{2n}{n}}\)
= lim \(\frac{1 + \frac{1}{n}}{2}\)

Khi n tiến ra vô cùng, \(\frac{1}{n}\) sẽ tiến về 0.
Vậy, giới hạn trở thành: \(\frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}\)

Do đó, lim [(1 – 1/2^2).(1 – 1/3^2)…(1 – 1/n^2)] = 1/2.

Chúc mừng các em đã hoàn thành hai bài tập này! Cô hy vọng với cách trình bày chi tiết, các em đã nắm vững phương pháp giải. Hãy ôn tập thường xuyên để củng cố kiến thức nhé!