Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một biểu thức thú vị mà đề bài đã cho. Mặc dù biểu thức này có vẻ hơi “bí ẩn” với dấu ba chấm, nhưng nhìn vào cấu trúc của nó, thầy/cô tin rằng đề bài muốn chúng ta phân tích nó thành nhân tử. Cụ thể, chúng ta có biểu thức:
\(1 + 8x^6y^3\)

Đây là một dạng bài rất quen thuộc trong chương trình Đại số lớp 8 của chúng ta, đó là phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách áp dụng Hằng đẳng thức đáng nhớ. Chúng ta hãy cùng nhau thực hiện từng bước một nhé!

Bước 1: Nhận diện cấu trúc của biểu thức và Hằng đẳng thức cần áp dụng
Khi nhìn vào biểu thức \(1 + 8x^6y^3\), các em hãy để ý:

• Số hạng đầu tiên là \(1\). Chúng ta biết rằng \(1\) có thể được viết dưới dạng lũy thừa bậc ba là \(1^3\).
• Số hạng thứ hai là \(8x^6y^3\). Chúng ta cần biến đổi số hạng này về dạng lập phương của một biểu thức:
  
  – Số \(8\) là lập phương của \(2\), tức là \(2^3\).
  
  – \(x^6\) là lập phương của \(x^2\), vì \((x^2)^3 = x^{2 \cdot 3} = x^6\). (Hãy nhớ lại quy tắc lũy thừa của lũy thừa mà chúng ta đã học nhé!)
  
  – \(y^3\) là lập phương của \(y\), tức là \(y^3\).
  
  Vậy, \(8x^6y^3\) có thể viết gọn lại thành \((2x^2y)^3\).

Như vậy, biểu thức đã cho có dạng tổng của hai lập phương: \(A^3 + B^3\).

Bước 2: Nhắc lại Hằng đẳng thức tổng của hai lập phương
Chúng ta đã được học công thức của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là:
\[ A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 – AB + B^2) \]
Đây là một trong 7 hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta cần phải thuộc và vận dụng thành thạo.

Bước 3: Xác định các “A” và “B” cụ thể trong biểu thức của chúng ta
Dựa vào phân tích ở Bước 1 và công thức ở Bước 2, chúng ta có thể xác định được \(A\) và \(B\) như sau:

• Vì \(A^3 = 1^3\), suy ra \(A = 1\).
• Vì \(B^3 = (2x^2y)^3\), suy ra \(B = 2x^2y\).

Bước 4: Áp dụng công thức và thực hiện phép tính
Bây giờ, chúng ta sẽ thay các giá trị \(A = 1\) và \(B = 2x^2y\) vào công thức hằng đẳng thức tổng của hai lập phương:
\[ 1^3 + (2x^2y)^3 = (1 + 2x^2y)(1^2 – 1 \cdot (2x^2y) + (2x^2y)^2) \]
Tiếp theo, chúng ta cần tính toán các biểu thức trong dấu ngoặc thứ hai:

• \(1^2 = 1\)
• \(1 \cdot (2x^2y) = 2x^2y\)
• \((2x^2y)^2\): Để tính biểu thức này, chúng ta bình phương từng thừa số bên trong ngoặc:
  
  \((2x^2y)^2 = 2^2 \cdot (x^2)^2 \cdot y^2 = 4 \cdot x^{2 \cdot 2} \cdot y^2 = 4x^4y^2\)

Thay các kết quả vừa tính được vào biểu thức ban đầu, ta sẽ có:
\[ (1 + 2x^2y)(1 – 2x^2y + 4x^4y^2) \]
Đây chính là dạng phân tích thành nhân tử của biểu thức đã cho.

Bước 5: Kết luận
Vậy, biểu thức \(1 + 8x^6y^3\) sau khi phân tích thành nhân tử sẽ là:
\(1 + 8x^6y^3 = (1 + 2x^2y)(1 – 2x^2y + 4x^4y^2)\)

Thầy/cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng hằng đẳng thức tổng của hai lập phương. Các em hãy ghi nhớ công thức và luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để nắm vững kiến thức này nhé! Chúc các em luôn học tốt và yêu thích môn Toán!