Chào em, thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết bài tập này nhé. Đây là một dạng bài rất hay, kết hợp giữa đạo hàm và biến đổi lượng giác.

Với bài toán này, chúng ta có hai hướng tiếp cận:

1. Cách 1 (Khuyến khích): Rút gọn biểu thức lượng giác trước, sau đó mới tính đạo hàm. Cách này thường nhanh và ít sai sót hơn.
2. Cách 2: Tính đạo hàm trực tiếp bằng quy tắc đạo hàm của hàm hợp, sau đó rút gọn kết quả. Cách này sẽ dài và phức tạp hơn.

Thầy sẽ trình bày cả hai cách để em có thể so sánh và hiểu rõ hơn nhé.

Cách 1: Rút gọn biểu thức trước khi tính đạo hàm

Đây là phương pháp tối ưu nhất cho bài toán này.

Bước 1: Phân tích và rút gọn hàm số \(y\)
Ta nhận thấy biểu thức có dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\), nhưng ở đây là mũ 4. Ta có thể viết lại như sau:
\[ y = (\cos^2 2x)^2 – (\sin^2 2x)^2 \]
Áp dụng hằng đẳng thức \(A^2 – B^2 = (A-B)(A+B)\) với \(A = \cos^2 2x\) và \(B = \sin^2 2x\), ta được:
\[ y = (\cos^2 2x – \sin^2 2x)(\cos^2 2x + \sin^2 2x) \]

Bước 2: Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản
Bây giờ, ta sẽ sử dụng hai công thức lượng giác rất quen thuộc:

• Công thức cộng cơ bản: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\)
• Công thức góc nhân đôi cho cosin: \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha – \sin^2 \alpha\)

Áp dụng vào biểu thức của \(y\):

• Thừa số thứ nhất: \(\cos^2 2x – \sin^2 2x = \cos(2 \cdot 2x) = \cos 4x\)
• Thừa số thứ hai: \(\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1\)

Vậy, hàm số \(y\) sau khi rút gọn là:
\[ y = (\cos 4x) \cdot 1 = \cos 4x \]

Bước 3: Tính đạo hàm của hàm số đã rút gọn
Bây giờ bài toán trở nên rất đơn giản. Ta chỉ cần tính đạo hàm của hàm số \(y = \cos 4x\).
Ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp \((\cos u)’ = -u’ \cdot \sin u\).

• Với \(u = 4x\), ta có \(u’ = (4x)’ = 4\).

Do đó, đạo hàm của \(y\) là:
\[ y’ = (\cos 4x)’ = -(4x)’ \cdot \sin 4x = -4 \sin 4x \]
Kết luận: Đạo hàm của hàm số đã cho là \(y’ = -4 \sin 4x\).

---

Cách 2: Tính đạo hàm trực tiếp (Để tham khảo)

Cách này sẽ cho em thấy vì sao việc rút gọn ở Cách 1 lại hiệu quả.

Bước 1: Áp dụng công thức đạo hàm của hiệu và hàm hợp
Hàm số có dạng \(y = u – v\), vậy \(y’ = u’ – v’\).
Ta cần tính đạo hàm của \(u = \cos^4 2x = (\cos 2x)^4\) và \(v = \sin^4 2x = (\sin 2x)^4\).

Ta sử dụng công thức đạo hàm hàm hợp \((w^n)’ = n \cdot w^{n-1} \cdot w’\).

• Tính \(u’ = ((\cos 2x)^4)’\):
  \[ u’ = 4 \cdot (\cos 2x)^{4-1} \cdot (\cos 2x)’ \]
  \[ u’ = 4 \cos^3 2x \cdot (-\sin 2x \cdot (2x)’) \]
  \[ u’ = 4 \cos^3 2x \cdot (-2 \sin 2x) \]
  \[ u’ = -8 \cos^3 2x \sin 2x \]
• Tính \(v’ = ((\sin 2x)^4)’\):
  \[ v’ = 4 \cdot (\sin 2x)^{4-1} \cdot (\sin 2x)’ \]
  \[ v’ = 4 \sin^3 2x \cdot (\cos 2x \cdot (2x)’) \]
  \[ v’ = 4 \sin^3 2x \cdot (2 \cos 2x) \]
  \[ v’ = 8 \sin^3 2x \cos 2x \]

Bước 2: Thay vào và rút gọn
Bây giờ, ta có \(y’ = u’ – v’\):
\[ y’ = -8 \cos^3 2x \sin 2x – 8 \sin^3 2x \cos 2x \]
Đặt nhân tử chung \(-8 \sin 2x \cos 2x\) ra ngoài:
\[ y’ = -8 \sin 2x \cos 2x (\cos^2 2x + \sin^2 2x) \]
Sử dụng công thức \(\cos^2 2x + \sin^2 2x = 1\), ta có:
\[ y’ = -8 \sin 2x \cos 2x \cdot 1 = -8 \sin 2x \cos 2x \]

Bước 3: Sử dụng công thức góc nhân đôi để có kết quả cuối cùng
Áp dụng công thức \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\), ta có \(2 \sin 2x \cos 2x = \sin(2 \cdot 2x) = \sin 4x\).
Vậy:
\[ y’ = -4 \cdot (2 \sin 2x \cos 2x) = -4 \sin 4x \]
Ta thấy cả hai cách đều ra cùng một kết quả, nhưng Cách 1 rõ ràng là ngắn gọn và hiệu quả hơn rất nhiều.

Lời khuyên từ thầy: Khi gặp các bài toán đạo hàm chứa biểu thức lượng giác phức tạp, em hãy luôn dành một chút thời gian để xem xét liệu có thể rút gọn biểu thức đó bằng các công thức lượng giác hay không. Điều này sẽ giúp em tiết kiệm rất nhiều thời gian và giảm thiểu sai sót trong tính toán.

Chúc em học tốt nhé