Chào các em, thầy là giáo viên bộ môn Toán. Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập tính tổng dãy phân số rất hay, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và bài thi nâng cao của lớp 6. Dạng bài này thoạt nhìn có vẻ phức tạp, nhưng nếu chúng ta phát hiện ra quy luật của nó thì cách giải lại vô cùng đơn giản.

Chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán này nhé.

Bước 1: Phân tích và nhận xét quy luật của từng số hạng

Trước hết, chúng ta hãy đặt tên cho biểu thức cần tính là A.

\[A = 2/(1. 3) + 2/(3. 5) + 2/(5. 7) + … + 2/(99. 101)\]

Các em hãy chú ý quan sát từng phân số trong tổng A. Ta có thể thấy một quy luật rất đặc biệt:

– Mẫu số của mỗi phân số là tích của hai số lẻ liên tiếp, hơn kém nhau 2 đơn vị. (Ví dụ: 1 và 3, 3 và 5, 5 và 7,…)

– Tử số của mỗi phân số đều là 2, và 2 chính là hiệu của hai thừa số ở mẫu số.

Ví dụ, với phân số đầu tiên \(2/(1. 3)\), ta có \(3 – 1 = 2\).

Với phân số thứ hai \(2/(3. 5)\), ta có \(5 – 3 = 2\).

…

Và với phân số cuối cùng \(2/(99. 101)\), ta có \(101 – 99 = 2\).

Đây chính là chìa khóa để giải bài toán này! Từ nhận xét này, chúng ta có thể tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số khác.

Bước 2: Tách mỗi phân số thành hiệu của hai phân số

Thầy sẽ hướng dẫn các em tách thử một phân số đầu tiên:

Ta có: \(2/(1. 3)\)

Chúng ta có thể viết lại tử số \(2\) thành \(3 – 1\). Khi đó, phân số trở thành:
\[(3 – 1)/(1. 3)\]
Áp dụng quy tắc trừ hai phân số có cùng mẫu số, nhưng theo chiều ngược lại, ta được:
\[(3 – 1)/(1. 3) = 3/(1. 3) – 1/(1. 3)\]
Bây giờ ta rút gọn hai phân số mới này:
\[3/(1. 3) – 1/(1. 3) = 1/1 – 1/3\]
Thật thú vị phải không nào? Như vậy, ta đã tách được \(2/(1. 3) = 1/1 – 1/3\).

Tương tự, ta áp dụng quy tắc này cho các phân số còn lại:

– \(2/(3. 5) = (5 – 3)/(3. 5) = 5/(3. 5) – 3/(3. 5) = 1/3 – 1/5\)

– \(2/(5. 7) = (7 – 5)/(5. 7) = 7/(5. 7) – 5/(5. 7) = 1/5 – 1/7\)

…

– \(2/(99. 101) = (101 – 99)/(99. 101) = 101/(99. 101) – 99/(99. 101) = 1/99 – 1/101\)

Bước 3: Thay thế vào biểu thức và tính tổng

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại tổng A bằng cách thay thế các phân số đã được tách:

\[A = (1/1 – 1/3) + (1/3 – 1/5) + (1/5 – 1/7) + … + (1/99 – 1/101)\]

Đến đây, các em hãy mở dấu ngoặc và sắp xếp lại các số hạng:

\[A = 1/1 – 1/3 + 1/3 – 1/5 + 1/5 – 1/7 + … + 1/99 – 1/101\]

Các em thấy điều gì đặc biệt không? Các cặp số đối nhau như \(-1/3\) và \(+1/3\), \(-1/5\) và \(+1/5\),… sẽ lần lượt triệt tiêu lẫn nhau.

\[A = 1/1 + (-1/3 + 1/3) + (-1/5 + 1/5) + … + (-1/99 + 1/99) – 1/101\]
\[A = 1/1 + 0 + 0 + … + 0 – 1/101\]
Sau khi triệt tiêu, biểu thức A của chúng ta chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng:

\[A = 1/1 – 1/101\]

Bước 4: Tính kết quả cuối cùng

Bây giờ bài toán đã trở nên rất đơn giản. Ta chỉ cần thực hiện phép trừ phân số:

\[A = 1 – 1/101\]
Quy đồng mẫu số, ta có:

\[A = 101/101 – 1/101\]
\[A = (101 – 1)/101\]
\[A = 100/101\]

Kết luận:
Vậy, giá trị của biểu thức đã cho là \(100/101\).

Qua bài tập này, các em cần ghi nhớ phương pháp tách một phân số có dạng \(k/(n . (n+k))\) thành hiệu \(1/n – 1/(n+k)\). Đây là một kỹ thuật rất hữu ích để giải các bài toán tính tổng theo quy luật. Chúc các em học tốt