Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về lũy thừa rất thú vị. Cô tin rằng với cách hướng dẫn chi tiết và từng bước, các em sẽ nắm vững kiến thức và giải bài toán này một cách dễ dàng.

Chúng ta sẽ cùng nhau biến đổi biểu thức sau:
2 mũ 15 nhân 9 mũ 4 trên 6 mũ 6 nhân 8 mũ 3

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các quy tắc về lũy thừa. Mục tiêu của chúng ta là đưa tất cả các cơ số về dạng số nguyên tố chung để dễ dàng rút gọn.

Bước 1: Phân tích các cơ số thành thừa số nguyên tố

Chúng ta nhận thấy các cơ số trong biểu thức là 2, 9, 6, 8. Chúng ta sẽ phân tích các cơ số này về dạng lũy thừa của các số nguyên tố là 2 và 3.

• Cơ số 2 đã là số nguyên tố.
• Cơ số 9 có thể viết lại là \( 3^2 \).
• Cơ số 6 có thể viết lại là \( 2 \times 3 \).
• Cơ số 8 có thể viết lại là \( 2^3 \).

Bước 2: Áp dụng quy tắc lũy thừa để biến đổi biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các cơ số trong biểu thức ban đầu bằng dạng phân tích thừa số nguyên tố của chúng.

Biểu thức ban đầu là: \( \frac{2^{15} \times 9^4}{6^6 \times 8^3} \)

Thay \( 9 = 3^2 \), \( 6 = 2 \times 3 \), \( 8 = 2^3 \) vào biểu thức, ta được:
\( \frac{2^{15} \times (3^2)^4}{(2 \times 3)^6 \times (2^3)^3} \)

Tiếp theo, chúng ta áp dụng các quy tắc về lũy thừa sau:

• Quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \times n} \): Khi nâng một lũy thừa lên lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân các số mũ.
• Quy tắc \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \): Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa.

Áp dụng quy tắc \( (a^m)^n = a^{m \times n} \) cho \( (3^2)^4 \) và \( (2^3)^3 \):
\( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} = 3^8 \)
\( (2^3)^3 = 2^{3 \times 3} = 2^9 \)

Áp dụng quy tắc \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \) cho \( (2 \times 3)^6 \):
\( (2 \times 3)^6 = 2^6 \times 3^6 \)

Sau khi biến đổi, biểu thức trở thành:
\( \frac{2^{15} \times 3^8}{2^6 \times 3^6 \times 2^9} \)

Bước 3: Gom các lũy thừa cùng cơ số ở mẫu

Ở mẫu số, chúng ta có hai lũy thừa cùng cơ số là 2. Chúng ta sẽ áp dụng quy tắc:

• Quy tắc \( a^m \times a^n = a^{m+n} \): Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ.

Áp dụng quy tắc này cho \( 2^6 \times 2^9 \) ở mẫu số:
\( 2^6 \times 2^9 = 2^{6+9} = 2^{15} \)

Lúc này, biểu thức của chúng ta có dạng:
\( \frac{2^{15} \times 3^8}{2^{15} \times 3^6} \)

Bước 4: Rút gọn biểu thức

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành rút gọn biểu thức bằng cách áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số:

• Quy tắc \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \) (với \( m \ge n \)): Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của số bị chia trừ đi số mũ của số chia.

Chúng ta sẽ rút gọn phần có cơ số 2 và phần có cơ số 3.
Đối với cơ số 2:
\( \frac{2^{15}}{2^{15}} = 2^{15-15} = 2^0 \)
Chúng ta biết rằng mọi số khác 0 mũ 0 đều bằng 1. Vậy \( 2^0 = 1 \).

Đối với cơ số 3:
\( \frac{3^8}{3^6} = 3^{8-6} = 3^2 \)

Bước 5: Tính kết quả cuối cùng

Kết hợp kết quả rút gọn ở Bước 4, ta có:
\( 1 \times 3^2 \)

Và cuối cùng, chúng ta tính giá trị của \( 3^2 \):
\( 3^2 = 3 \times 3 = 9 \)

Vậy, kết quả của biểu thức đã cho là 9.

Kết luận:

Chúng ta đã áp dụng thành công các quy tắc về lũy thừa để biến đổi và rút gọn biểu thức ban đầu. Điều quan trọng là các em phải nhớ và vận dụng linh hoạt các công thức này:

• \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)
• \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)
• \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)
• \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)
• \( a^0 = 1 \) (với \( a \ne 0 \))

Hy vọng với lời giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ cách làm. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!