Chào các em học sinh lớp 8 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau “giải quyết” một bài toán khá thú vị, đòi hỏi sự tinh ý trong việc biến đổi các phân thức. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi hoặc các bài tập nâng cao.

Đề bài yêu cầu chúng ta rút gọn biểu thức sau (thầy đã làm rõ các dấu phân số):

\[ \frac{29-x}{21} + \frac{27-x}{23} + \frac{25-x}{25} + \frac{23-x}{27} + \frac{21+x}{29} – 1 \]

Khi nhìn vào các phân thức có dạng \( \frac{A-x}{B} \), các em hãy thử để ý tổng của tử số và mẫu số \( A+B \).
Chúng ta thấy rằng:

• \( 29 + 21 = 50 \)
• \( 27 + 23 = 50 \)
• \( 25 + 25 = 50 \)
• \( 23 + 27 = 50 \)

Đây là một “mẹo” rất quen thuộc trong các bài toán biến đổi phân thức! Nó gợi ý cho chúng ta rằng, nếu chúng ta thêm hoặc bớt một hằng số thích hợp vào mỗi phân thức, chúng ta có thể tạo ra một tử số chung dạng \( (50-x) \) hoặc \( (x-50) \).

Bây giờ, chúng ta sẽ tiến hành biến đổi từng phân thức một cách chi tiết:

Bước 1: Biến đổi các phân thức đầu tiên để xuất hiện tử số \( (50-x) \)
Đối với các phân thức có dạng \( \frac{A-x}{B} \) mà có \( A+B=50 \), chúng ta có thể viết lại như sau:
\( \frac{A-x}{B} = \frac{A-x+B-B}{B} = \frac{(A+B)-x}{B} – \frac{B}{B} = \frac{50-x}{B} – 1 \)
Áp dụng điều này cho bốn phân thức đầu tiên:

1. Với phân thức \( \frac{29-x}{21} \):
\( \frac{29-x}{21} = \frac{(29+21)-x}{21} – \frac{21}{21} = \frac{50-x}{21} – 1 \)

2. Với phân thức \( \frac{27-x}{23} \):
\( \frac{27-x}{23} = \frac{(27+23)-x}{23} – \frac{23}{23} = \frac{50-x}{23} – 1 \)

3. Với phân thức \( \frac{25-x}{25} \):
\( \frac{25-x}{25} = \frac{(25+25)-x}{25} – \frac{25}{25} = \frac{50-x}{25} – 1 \)

4. Với phân thức \( \frac{23-x}{27} \):
\( \frac{23-x}{27} = \frac{(23+27)-x}{27} – \frac{27}{27} = \frac{50-x}{27} – 1 \)

Bước 2: Biến đổi phân thức cuối cùng \( \frac{21+x}{29} \) để xuất hiện tử số dạng \( (50-x) \) hoặc \( (x-50) \)
Chúng ta có tử số là \( 21+x \). Để xuất hiện \( (50-x) \) hoặc \( (x-50) \), ta làm như sau:
Nhận thấy rằng \( x-50 = -(50-x) \). Ta sẽ cố gắng biến đổi tử số \( 21+x \) thành dạng \( (x-50) \) cộng với một hằng số nào đó.
\( 21+x = (x-50) + 71 \)
Do đó:
\( \frac{21+x}{29} = \frac{(x-50)+71}{29} = \frac{x-50}{29} + \frac{71}{29} \)
Để thuận tiện cho việc nhóm \( (50-x) \), chúng ta viết \( \frac{x-50}{29} \) thành \( \frac{-(50-x)}{29} \).
Vậy: \( \frac{21+x}{29} = \frac{-(50-x)}{29} + \frac{71}{29} \)

Bước 3: Thay thế các phân thức đã biến đổi vào biểu thức ban đầu
Gọi biểu thức ban đầu là A.

\( A = \left(\frac{50-x}{21} – 1\right) + \left(\frac{50-x}{23} – 1\right) + \left(\frac{50-x}{25} – 1\right) + \left(\frac{50-x}{27} – 1\right) + \left(\frac{-(50-x)}{29} + \frac{71}{29}\right) – 1 \)

Bước 4: Nhóm các số hạng chứa \( (50-x) \) và các hằng số

\( A = \left(\frac{50-x}{21} + \frac{50-x}{23} + \frac{50-x}{25} + \frac{50-x}{27} + \frac{-(50-x)}{29}\right) + (-1-1-1-1-1) + \frac{71}{29} \)

\( A = (50-x) \left(\frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} – \frac{1}{29}\right) – 5 + \frac{71}{29} \)

Bước 5: Rút gọn phần hằng số

\( -5 + \frac{71}{29} = \frac{-5 \times 29}{29} + \frac{71}{29} = \frac{-145}{29} + \frac{71}{29} = \frac{-145+71}{29} = \frac{-74}{29} \)

Vậy, biểu thức đã cho sau khi rút gọn là:

\[ A = (50-x) \left(\frac{1}{21} + \frac{1}{23} + \frac{1}{25} + \frac{1}{27} – \frac{1}{29}\right) – \frac{74}{29} \]

Đây là dạng rút gọn cuối cùng của biểu thức. Các em lưu ý rằng tổng các phân số trong ngoặc đơn thường không rút gọn được thành số nguyên hoặc phân số đơn giản hơn, nên đây chính là kết quả cuối cùng của bài toán.
Chúc các em học tốt và luôn tìm thấy niềm vui trong môn Toán!