Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Bài tập của chúng ta là: Tìm tập nghiệm của phương trình 2sin2x – căn3 = 0 trong đoạn [0; 2pi].

Chúng ta sẽ giải bài toán này từng bước một, bám sát kiến thức đã học trong Sách giáo khoa.

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng cơ bản

Trước hết, chúng ta cần cô lập biểu thức chứa sin(2x).
Phương trình đã cho là: 2sin2x – căn3 = 0
Ta chuyển vế hạng tử -căn3 sang bên phải của dấu bằng:
2sin2x = căn3

Tiếp theo, ta chia cả hai vế cho 2 để có dạng sin(2x) = một giá trị cụ thể:
sin2x = căn3 / 2

Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình sin(u) = a

Bây giờ, chúng ta có phương trình dạng sin(u) = a, với u = 2x và a = căn3 / 2.
Chúng ta cần nhớ lại công thức nghiệm của phương trình sin(u) = a:
Nếu |a| <= 1, thì phương trình có nghiệm là: u = arcsin(a) + k2pi hoặc u = pi - arcsin(a) + k2pi trong đó k là số nguyên (k thuộc Z). Trong trường hợp này, a = căn3 / 2. Chúng ta biết rằng sin(pi/3) = căn3 / 2. Vậy, arcsin(căn3 / 2) = pi/3. Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình sin2x = căn3 / 2, ta có: 2x = pi/3 + k2pi hoặc 2x = pi - pi/3 + k2pi Bước 3: Rút gọn và tìm nghiệm cho x

Chúng ta sẽ giải hai trường hợp trên để tìm x:

Trường hợp 1: 2x = pi/3 + k2pi
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
x = pi/6 + k*pi

Trường hợp 2: 2x = pi – pi/3 + k2pi
Trước hết, ta tính pi – pi/3 = 3pi/3 – pi/3 = 2pi/3.
Vậy, 2x = 2pi/3 + k2pi
Chia cả hai vế cho 2, ta được:
x = pi/3 + k*pi

Như vậy, nghiệm tổng quát của phương trình là:
x = pi/6 + k*pi
hoặc
x = pi/3 + k*pi
trong đó k là số nguyên.

Bước 4: Tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện thuộc đoạn [0; 2pi]

Bây giờ, chúng ta cần tìm các giá trị nguyên của k để x thuộc đoạn [0; 2pi]. Chúng ta sẽ xét từng trường hợp nghiệm.

Xét x = pi/6 + k*pi:
Ta cần: 0 <= pi/6 + k*pi <= 2pi Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi (vì pi > 0, nên chiều của bất đẳng thức không đổi):
0 <= 1/6 + k <= 2 Trừ 1/6 từ cả ba vế: 0 - 1/6 <= k <= 2 - 1/6 -1/6 <= k <= 12/6 - 1/6 -1/6 <= k <= 11/6 Vì k là số nguyên, nên các giá trị của k thỏa mãn là k = 0 và k = 1. Với k = 0, x = pi/6 + 0*pi = pi/6. Với k = 1, x = pi/6 + 1*pi = pi/6 + 6pi/6 = 7pi/6. Xét x = pi/3 + k*pi: Ta cần: 0 <= pi/3 + k*pi <= 2pi Chia cả ba vế của bất đẳng thức cho pi: 0 <= 1/3 + k <= 2 Trừ 1/3 từ cả ba vế: 0 - 1/3 <= k <= 2 - 1/3 -1/3 <= k <= 6/3 - 1/3 -1/3 <= k <= 5/3 Vì k là số nguyên, nên các giá trị của k thỏa mãn là k = 0 và k = 1. Với k = 0, x = pi/3 + 0*pi = pi/3. Với k = 1, x = pi/3 + 1*pi = pi/3 + 3pi/3 = 4pi/3. Bước 5: Kết luận tập nghiệm

Tổng hợp tất cả các giá trị của x tìm được thuộc đoạn [0; 2pi], chúng ta có các nghiệm sau:
pi/6, 7pi/6, pi/3, 4pi/3.

Chúng ta sắp xếp các nghiệm theo thứ tự tăng dần để dễ nhìn:
pi/6, pi/3, 7pi/6, 4pi/3.

Vậy, tập nghiệm của phương trình 2sin2x – căn3 = 0 trong đoạn [0; 2pi] là {pi/6; pi/3; 7pi/6; 4pi/3}.

Các em về nhà xem lại các bước giải, đặc biệt là cách tìm nghiệm tổng quát và cách xét điều kiện để tìm nghiệm trong một khoảng cho trước. Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Chào các em!