Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập lượng giác này. Đây là một dạng bài tập quen thuộc, chúng ta sẽ cần sử dụng các công thức biến đổi lượng giác để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn, cụ thể là phương trình tích.

Để giải phương trình, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Sử dụng công thức lượng giác để biến đổi phương trình

Các em hãy quan sát phương trình. Ta thấy có sự xuất hiện của \(cos2x\) và \(sin2x\). Chúng ta sẽ sử dụng các công thức nhân đôi để đưa tất cả về góc \(x\).
Các công thức cần nhớ:
1. Công thức nhân đôi cho cosin: \(cos2x = 2cos^2x – 1\). Từ đây suy ra một hệ quả rất hay dùng là \(1 + cos2x = 2cos^2x\).

2. Công thức nhân đôi cho sin: \(sin2x = 2sinxcosx\).

Áp dụng các công thức này vào phương trình ban đầu, ta có:
Phương trình tương đương với:
\[2sinx(2cos^2x) + (2sinxcosx) = 1 + 2cosx\]

Bước 2: Rút gọn và chuyển vế

Bây giờ, ta nhân các biểu thức và chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái để vế phải bằng 0.
\[4sinxcos^2x + 2sinxcosx – 1 – 2cosx = 0\]

Bước 3: Phân tích vế trái thành nhân tử

Đến đây, chúng ta sẽ dùng phương pháp nhóm các hạng tử để tìm ra nhân tử chung.
Ta nhóm hai hạng tử đầu với nhau và hai hạng tử cuối với nhau:
\[(4sinxcos^2x + 2sinxcosx) – (1 + 2cosx) = 0\]
Ở nhóm thứ nhất, ta thấy có nhân tử chung là \(2sinxcosx\):
\[2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = 0\]
Lúc này, một nhân tử chung mới xuất hiện là \((2cosx + 1)\). Ta đặt nó ra ngoài:
\[(2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = 0\]
Ta lại nhận thấy biểu thức \(2sinxcosx\) chính là \(sin2x\). Vậy phương trình trở thành:
\[(2cosx + 1)(sin2x – 1) = 0\]

Bước 4: Giải phương trình tích

Phương trình có dạng \(A \cdot B = 0\), khi và chỉ khi \(A = 0\) hoặc \(B = 0\). Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2cosx + 1 = 0\)
\[cosx = -\frac{1}{2}\]
Đây là một giá trị lượng giác cơ bản. Ta biết \(cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}\).
Vậy phương trình trở thành \(cosx = cos(\frac{2\pi}{3})\).
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình \(cosx = cos\alpha\), ta có:
\[x = \pm\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Trường hợp 2: \(sin2x – 1 = 0\)
\[sin2x = 1\]
Đây là trường hợp đặc biệt của phương trình sin. \(sin\alpha = 1\) khi và chỉ khi \(\alpha = \frac{\pi}{2} + k2\pi\).
Áp dụng vào phương trình, ta có:
\[2x = \frac{\pi}{2} + k2\pi\]
Chia cả hai vế cho 2, ta được nghiệm:
\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình

Tổng hợp nghiệm từ cả hai trường hợp, ta có các họ nghiệm của phương trình đã cho là:
\[x = \pm\frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]
\[x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})\]

Vậy là chúng ta đã giải xong bài toán. Các em hãy xem lại từng bước, đặc biệt là việc áp dụng các công thức biến đổi và kỹ năng phân tích thành nhân tử nhé.
Chúc các em học tốt