Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán lượng giác thú vị, giúp củng cố và nâng cao kiến thức về các công thức lượng giác đã học. Bài toán của chúng ta là:

2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này từng bước một nhé!

Bước 1: Biến đổi và rút gọn vế trái của phương trình.

Nhìn vào phương trình, chúng ta thấy có các biểu thức như \(1+cos2x\) và \(sin2x\). Đây là những biểu thức quen thuộc có công thức lượng giác tương ứng. Cô sẽ áp dụng các công thức này để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.

* Áp dụng công thức
\(1 + \cos(2x) = 2\cos^2x\)
Lý do: Công thức này giúp chúng ta hạ bậc của biểu thức chứa cos2x, đưa về biểu thức chứa cosx, thuận lợi cho việc rút gọn sau này.

* Áp dụng công thức
\(\sin(2x) = 2\sin x \cos x\)
Lý do: Công thức này giúp chúng ta biểu diễn sin2x theo sinx và cosx, tương thích với các thành phần khác trong phương trình.

Thay thế vào vế trái của phương trình ban đầu:
\(2\sin x (2\cos^2 x) + 2\sin x \cos x\)

Bây giờ, chúng ta nhân phân phối và rút gọn:
\(4\sin x \cos^2 x + 2\sin x \cos x\)

Bước 2: Biến đổi vế phải của phương trình.

Vế phải của phương trình là \(1+2\cos x\). Chúng ta sẽ giữ nguyên vế phải ở bước này và sẽ sử dụng nó để so sánh với vế trái sau khi biến đổi.

Bước 3: Đặt phương trình đã biến đổi bằng nhau và tìm cách đưa về dạng phương trình cơ bản.

Sau khi biến đổi vế trái, phương trình của chúng ta trở thành:
\(4\sin x \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + 2\cos x\)

Để giải phương trình này, chúng ta cần đưa tất cả các hạng tử về một vế.
\(4\sin x \cos^2 x + 2\sin x \cos x – 1 – 2\cos x = 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử có nhân tử chung.
Nhóm \(4\sin x \cos^2 x\) và \(2\sin x \cos x\) có nhân tử chung là \(2\sin x \cos x\).
Nhóm \(-1\) và \(-2\cos x\) có nhân tử chung là \(-1\).

\(2\sin x \cos x (2\cos x + 1) – (1 + 2\cos x) = 0\)

Chúng ta có thể thấy một nhân tử chung xuất hiện ở cả hai nhóm là \((2\cos x + 1)\).
\( (2\cos x + 1) (2\sin x \cos x – 1) = 0 \)

Bước 4: Giải phương trình tích.

Phương trình tích này cho chúng ta hai trường hợp:

Trường hợp 1: \(2\cos x + 1 = 0\)

Đây là một phương trình lượng giác cơ bản.
\(2\cos x = -1\)
\(\cos x = -\frac{1}{2}\)

Các giá trị của x thỏa mãn phương trình này là:
\(x = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + k2\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\)
Ta biết rằng \(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\).
Vậy, \(x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi\), với \(k \in \mathbb{Z}\).

Trường hợp 2: \(2\sin x \cos x – 1 = 0\)

Ta nhận ra biểu thức \(2\sin x \cos x\) chính là \(\sin(2x)\) theo công thức đã áp dụng ở bước 1.
\(\sin(2x) – 1 = 0\)
\(\sin(2x) = 1\)

Đây cũng là một phương trình lượng giác cơ bản.
\(2x = \frac{\pi}{2} + m2\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\)

Chia cả hai vế cho 2 để tìm x:
\(x = \frac{\pi}{4} + m\pi\), với \(m \in \mathbb{Z}\).

Bước 5: Kết luận.

Vậy, tập nghiệm của phương trình đã cho là tất cả các giá trị x thỏa mãn một trong hai trường hợp trên.

Tập nghiệm của phương trình là:
\( S = \left\{ \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \cup \left\{ \frac{\pi}{4} + m\pi \mid m \in \mathbb{Z} \right\} \)

Các em thấy đó, bằng cách áp dụng linh hoạt các công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình tích, chúng ta đã hoàn thành bài toán một cách logic và đầy đủ. Hãy ghi nhớ các bước giải này để có thể áp dụng cho những bài toán tương tự nhé!