Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, thầy/cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài tập rất hay thuộc dạng phương trình bậc hai, nhưng chúng ta sẽ giải nó một cách thông minh và nhanh chóng nhờ vào việc áp dụng các Hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Lời giải chi tiết:

Để giải phương trình này, chúng ta sẽ áp dụng một Hằng đẳng thức đáng nhớ rất quan trọng: Hằng đẳng thức số 3 – Hiệu hai bình phương.

Bước 1: Nhận dạng dạng của phương trình.

Phương trình đã cho là: \( (2x – 3)^2 – (x – 1)^2 = 0 \)

Các em có thể thấy, phương trình này có dạng \(A^2 – B^2 = 0\), trong đó:

• \(A = (2x – 3)\)
• \(B = (x – 1)\)

Bước 2: Áp dụng Hằng đẳng thức Hiệu hai bình phương.

Nhắc lại Hằng đẳng thức:

\[ A^2 – B^2 = (A – B)(A + B) \]

Giải thích: Việc áp dụng Hằng đẳng thức này giúp chúng ta biến đổi phương trình từ dạng hiệu của hai bình phương sang dạng tích của hai nhân tử. Khi một tích bằng 0, ít nhất một trong các nhân tử phải bằng 0. Đây là một phương pháp rất hiệu quả để giải các phương trình có dạng này, giúp chúng ta tránh phải khai triển bình phương và giải phương trình bậc hai phức tạp hơn.

Bước 3: Thay thế A và B vào Hằng đẳng thức.

Với \(A = (2x – 3)\) và \(B = (x – 1)\), ta có:

\[ ( (2x – 3) – (x – 1) ) \cdot ( (2x – 3) + (x – 1) ) = 0 \]

Bước 4: Rút gọn các biểu thức trong mỗi dấu ngoặc vuông.

Chúng ta sẽ rút gọn từng biểu thức một:

• Đối với nhân tử thứ nhất: \( (2x – 3) – (x – 1) \)

  Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong dấu ngoặc.

  \( = 2x – 3 – x + 1 \)

  \( = (2x – x) + (-3 + 1) \)

  \( = x – 2 \)

• Đối với nhân tử thứ hai: \( (2x – 3) + (x – 1) \)

  Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng đằng trước, chúng ta giữ nguyên dấu các số hạng bên trong dấu ngoặc.

  \( = 2x – 3 + x – 1 \)

  \( = (2x + x) + (-3 – 1) \)

  \( = 3x – 4 \)

Vậy, phương trình trở thành:

\[ (x – 2)(3x – 4) = 0 \]

Bước 5: Giải phương trình tích.

Khi một tích của hai biểu thức bằng 0, thì ít nhất một trong hai biểu thức đó phải bằng 0. Đây là một nguyên tắc cơ bản để giải các phương trình dạng tích.

Do đó, chúng ta có hai trường hợp xảy ra:

• Trường hợp 1: \(x – 2 = 0\)

  Chuyển -2 sang vế phải và đổi dấu, ta được:

  \(x = 2\)

• Trường hợp 2: \(3x – 4 = 0\)

  Chuyển -4 sang vế phải và đổi dấu:

  \(3x = 4\)

  Chia cả hai vế cho 3:

  \(x = \frac{4}{3}\)

Bước 6: Kết luận tập nghiệm.

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 2\) và \(x = \frac{4}{3}\).

Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 2; \frac{4}{3} \right\}\).

Các em thấy đó, việc nắm vững các Hằng đẳng thức đáng nhớ sẽ giúp chúng ta giải toán nhanh hơn và chính xác hơn rất nhiều! Hãy luôn ghi nhớ và luyện tập thường xuyên nhé!