Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình bậc hai. Bài toán này có thể xuất hiện trong cả ba bộ sách giáo khoa mới của chúng ta: Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều.

Chúng ta sẽ giải bài toán sau:
(2x+7)^2 = 9(x+2)^2

Nào, chúng ta cùng bắt đầu từng bước một nhé!

Bước 1: Nhận dạng phương trình và lựa chọn phương pháp giải

Quan sát phương trình, chúng ta thấy cả hai vế đều có dạng bình phương. Vế trái là \((2x+7)^2\) và vế phải là \(9(x+2)^2\). Chúng ta có thể nhận thấy \(9 = 3^2\). Điều này gợi ý cho chúng ta một phương pháp giải rất hiệu quả, đó là sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 = b^2 \Leftrightarrow a^2 – b^2 = 0 \Leftrightarrow (a-b)(a+b) = 0\).

Chúng ta sẽ đưa phương trình về dạng \(A^2 = B^2\).

Bước 2: Biến đổi phương trình về dạng \(A^2 = B^2\)

Ta có:
(2x+7)^2 = 9(x+2)^2
(2x+7)^2 = 3^2(x+2)^2
(2x+7)^2 = [3(x+2)]^2

Lý do: Chúng ta sử dụng tính chất của lũy thừa: \((ab)^n = a^n b^n\). Ở đây, ta áp dụng ngược lại để nhóm các thừa số lại dưới cùng một số mũ.

Bước 3: Áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 = b^2 \Leftrightarrow (a-b)(a+b) = 0\)

Đặt \(a = 2x+7\) và \(b = 3(x+2)\).
Phương trình trở thành:
(2x+7)^2 – [3(x+2)]^2 = 0

Lý do: Chúng ta chuyển vế để có dạng \(A^2 – B^2 = 0\), đây là dạng cơ bản để áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.

Áp dụng hằng đẳng thức:
[ (2x+7) – 3(x+2) ] [ (2x+7) + 3(x+2) ] = 0

Lý do: Chúng ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)\).

Bước 4: Giải hai phương trình bậc nhất

Bây giờ, chúng ta có một phương trình tích bằng 0. Điều này có nghĩa là một trong hai thừa số phải bằng 0. Chúng ta sẽ giải hai phương trình nhỏ hơn:

Trường hợp 1: (2x+7) – 3(x+2) = 0
2x + 7 – 3x – 6 = 0 (Phân phối dấu trừ vào ngoặc)
-x + 1 = 0
-x = -1
x = 1

Lý do: Chúng ta thực hiện phép trừ và nhóm các hạng tử giống nhau để đưa về dạng phương trình bậc nhất ax + b = 0.

Trường hợp 2: (2x+7) + 3(x+2) = 0
2x + 7 + 3x + 6 = 0 (Phân phối dấu cộng vào ngoặc, thực ra là không đổi dấu)
5x + 13 = 0
5x = -13
x = -13/5

Lý do: Tương tự trường hợp 1, chúng ta thực hiện phép cộng và nhóm các hạng tử giống nhau để đưa về dạng phương trình bậc nhất ax + b = 0.

Bước 5: Kết luận tập nghiệm

Vậy, phương trình đã cho có hai nghiệm là \(x = 1\) và \(x = -13/5\).

Chúng ta có thể viết tập nghiệm của phương trình là S = {1; -13/5}.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các hằng đẳng thức và các quy tắc biến đổi đại số, chúng ta có thể giải quyết được nhiều bài toán phức tạp một cách dễ dàng. Hãy luôn luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng của mình nhé!