Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết bài tập này. Đây là một dạng bài rất quen thuộc, sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử. Các em hãy chú ý theo dõi nhé.

Bước 1: Nhận dạng hằng đẳng thức

Trước hết, chúng ta hãy quan sát kỹ biểu thức. Ta thấy biểu thức có dạng là hiệu của hai bình phương, rất giống với hằng đẳng thức số 3 mà chúng ta đã học: Hiệu hai bình phương.

Công thức tổng quát là:
\[A^2 – B^2 = (A – B)(A + B)\]

Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức vào bài toán

Trong bài toán này, ta có thể xác định các biểu thức \(A\) và \(B\) như sau:

• Với \(A = (2xy+1)\)
• Với \(B = (2x+y)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay \(A\) và \(B\) vào công thức hằng đẳng thức ở trên:

\((2xy+1)^2 – (2x+y)^2 = [ (2xy+1) – (2x+y) ] [ (2xy+1) + (2x+y) ]\)

Bước 3: Bỏ dấu ngoặc và rút gọn từng biểu thức trong ngoặc vuông

Bây giờ chúng ta sẽ tiến hành phá bỏ các dấu ngoặc tròn bên trong và rút gọn.

Đối với biểu thức thứ nhất: \([ (2xy+1) – (2x+y) ]\)
Các em hãy cẩn thận với dấu trừ “–” ở phía trước dấu ngoặc \((2x+y)\). Khi bỏ ngoặc, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong.
\(= 2xy + 1 – 2x – y\)

Đối với biểu thức thứ hai: \([ (2xy+1) + (2x+y) ]\)
Với dấu cộng “+” ở phía trước, chúng ta chỉ cần bỏ ngoặc và giữ nguyên dấu của các hạng tử.
\(= 2xy + 1 + 2x + y\)

Như vậy, ta được:
\((2xy – 2x – y + 1)(2xy + 2x + y + 1)\)

Bước 4: Tiếp tục phân tích các nhân tử (nếu có thể) bằng phương pháp nhóm hạng tử

Đến đây, một số bài toán đã có thể kết thúc. Tuy nhiên, một giáo viên giỏi sẽ luôn kiểm tra xem các nhân tử có thể được phân tích tiếp hay không. Chúng ta hãy xét từng nhân tử nhé.

• Xét nhân tử thứ nhất: \(2xy – 2x – y + 1\)
  Ta có thể nhóm các hạng tử để tìm nhân tử chung:
  Nhóm hạng tử 1 và 2; hạng tử 3 và 4:
  \(= (2xy – 2x) – (y – 1)\)
  Đặt nhân tử chung ra ngoài:
  \(= 2x(y – 1) – 1(y – 1)\)
  Ta thấy xuất hiện nhân tử chung mới là \((y-1)\):
  \(= (y-1)(2x-1)\)
• Xét nhân tử thứ hai: \(2xy + 2x + y + 1\)
  Tương tự, ta nhóm các hạng tử:
  Nhóm hạng tử 1 và 3; hạng tử 2 và 4 (hoặc 1 và 2; 3 và 4 cũng được):
  \(= (2xy + y) + (2x + 1)\)
  Đặt nhân tử chung ra ngoài:
  \(= y(2x + 1) + 1(2x + 1)\)
  Ta thấy xuất hiện nhân tử chung mới là \((2x+1)\):
  \(= (y+1)(2x+1)\)

Bước 5: Viết kết quả cuối cùng

Bây giờ, chúng ta ráp tất cả các kết quả phân tích được lại với nhau:

\((2xy+1)^2 – (2x+y)^2 = (2x-1)(y-1)(2x+1)(y+1)\)

Để kết quả trông gọn gàng hơn, các em có thể sắp xếp lại các nhân tử:

\((2x-1)(2x+1)(y-1)(y+1)\)

Kết luận:
Như vậy, qua 5 bước chi tiết, chúng ta đã phân tích thành công đa thức ban đầu thành nhân tử. Bài toán này là sự kết hợp của hai phương pháp rất quan trọng: dùng hằng đẳng thức và nhóm hạng tử. Các em hãy ôn lại thật kỹ hai phương pháp này nhé. Chúc các em học tốt