Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về đa thức. Bài tập này yêu cầu chúng ta khai triển và rút gọn biểu thức. Các em chú ý theo dõi từng bước nhé!

Chúng ta cần thực hiện phép tính: 3x (x-1) ² – (1-x) ³

Bước 1: Khai triển hạng tử thứ nhất.
Hạng tử thứ nhất là 3x (x-1) ².
Trước hết, ta khai triển (x-1) ². Đây là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \( (a-b)² = a² – 2ab + b² \).
Áp dụng vào đây, ta có: \( (x-1)² = x² – 2 \cdot x \cdot 1 + 1² = x² – 2x + 1 \).
Vậy, 3x (x-1) ² = 3x (x² – 2x + 1).
Bây giờ, ta nhân 3x với từng hạng tử trong ngoặc:
3x \cdot x² = 3x³
3x \cdot (-2x) = -6x²
3x \cdot 1 = 3x
Do đó, 3x (x-1) ² = 3x³ – 6x² + 3x.

Bước 2: Khai triển hạng tử thứ hai.
Hạng tử thứ hai là (1-x) ³.
Đây là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ \).
Áp dụng vào đây, ta có a=1 và b=x:
\( (1-x)³ = 1³ – 3 \cdot 1² \cdot x + 3 \cdot 1 \cdot x² – x³ \)
\( (1-x)³ = 1 – 3x + 3x² – x³ \)

Tuy nhiên, ta để ý thấy rằng \( (1-x) = -(x-1) \).
Vậy, \( (1-x)³ = (-(x-1))³ = (-1)³ (x-1)³ = – (x-1)³ \).
Bây giờ ta khai triển \( (x-1)³ \). Đây là hằng đẳng thức lập phương của một hiệu: \( (a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³ \).
Áp dụng vào đây, ta có a=x và b=1:
\( (x-1)³ = x³ – 3 \cdot x² \cdot 1 + 3 \cdot x \cdot 1² – 1³ \)
\( (x-1)³ = x³ – 3x² + 3x – 1 \)
Do đó, \( (1-x)³ = – (x-1)³ = – (x³ – 3x² + 3x – 1) \).
Nhân dấu trừ vào trong ngoặc:
\( (1-x)³ = -x³ + 3x² – 3x + 1 \).
Chúng ta kiểm tra lại với cách khai triển ban đầu: 1 – 3x + 3x² – x³. Hai kết quả này là giống nhau, chỉ khác thứ tự các hạng tử.

Bước 3: Thực hiện phép trừ hai hạng tử.
Biểu thức ban đầu là: 3x (x-1) ² – (1-x) ³
Thay thế các kết quả đã khai triển vào:
(3x³ – 6x² + 3x) – (-x³ + 3x² – 3x + 1)

Bước 4: Rút gọn biểu thức.
Ta bỏ dấu ngoặc thứ nhất: 3x³ – 6x² + 3x
Ta bỏ dấu ngoặc thứ hai bằng cách đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong vì có dấu trừ đứng trước:
– (-x³) = +x³
– (+3x²) = -3x²
– (-3x) = +3x
– (+1) = -1
Vậy, biểu thức trở thành: 3x³ – 6x² + 3x + x³ – 3x² + 3x – 1

Bước 5: Gom các hạng tử đồng dạng.
Hạng tử bậc ba: 3x³ + x³ = 4x³
Hạng tử bậc hai: -6x² – 3x² = -9x²
Hạng tử bậc nhất: 3x + 3x = 6x
Hạng tử tự do: -1

Bước 6: Viết kết quả cuối cùng.
Kết hợp các hạng tử đã gom lại, ta được biểu thức rút gọn là: 4x³ – 9x² + 6x – 1.

Vậy, 3x (x-1) ² – (1-x) ³ = 4x³ – 9x² + 6x – 1.

Các em thấy đó, bài toán này chủ yếu là áp dụng đúng các hằng đẳng thức đã học và thực hiện phép tính cẩn thận. Hãy nhớ luyện tập thêm để thành thạo nhé!