Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán phương trình khá thú vị, đòi hỏi sự khéo léo trong cách biến đổi. Bài này có vẻ hơi dài một chút, nhưng đừng lo, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết nhé!

Chúng ta cần giải phương trình:
(x+2).(x+3).(x-5).(x-6)=180

Bước 1: Nhóm các thừa số lại một cách hợp lý.
Các em để ý thấy rằng, nếu ta cộng các số hạng trong các cặp ngoặc lại với nhau, ta sẽ có những kết quả bằng nhau:
(x+2) và (x-5): 2 + (-5) = -3
(x+3) và (x-6): 3 + (-6) = -3

Vậy, chúng ta sẽ nhóm các cặp (x+2) với (x-5) và (x+3) với (x-6).
Ta viết lại phương trình như sau:
((x+2).(x-5)).((x+3).(x-6)) = 180

Bước 2: Nhân các thừa số trong từng nhóm.
Nhóm thứ nhất: (x+2)(x-5)
Ta nhân lần lượt từng hạng tử:
x * x = x^2
x * (-5) = -5x
2 * x = 2x
2 * (-5) = -10
Cộng lại ta được: x^2 – 5x + 2x – 10 = x^2 – 3x – 10

Nhóm thứ hai: (x+3)(x-6)
Ta nhân lần lượt từng hạng tử:
x * x = x^2
x * (-6) = -6x
3 * x = 3x
3 * (-6) = -18
Cộng lại ta được: x^2 – 6x + 3x – 18 = x^2 – 3x – 18

Bây giờ, phương trình của chúng ta trở thành:
(x^2 – 3x – 10).(x^2 – 3x – 18) = 180

Bước 3: Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.
Các em thấy rằng trong hai biểu thức ngoặc, có phần giống nhau là “x^2 – 3x”. Đây chính là lúc chúng ta sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để bài toán trở nên đơn giản hơn.
Đặt \(t = x^2 – 3x\).
Khi đó, biểu thức thứ nhất (x^2 – 3x – 10) sẽ là \(t – 10\).
Và biểu thức thứ hai (x^2 – 3x – 18) sẽ là \(t – 18\).

Phương trình của chúng ta bây giờ là:
(t – 10).(t – 18) = 180

Bước 4: Giải phương trình bậc hai với ẩn phụ t.
Ta khai triển phương trình trên:
t * t = t^2
t * (-18) = -18t
-10 * t = -10t
-10 * (-18) = 180
Cộng lại ta được: t^2 – 18t – 10t + 180 = 180
t^2 – 28t + 180 = 180

Chuyển 180 sang vế trái:
t^2 – 28t + 180 – 180 = 0
t^2 – 28t = 0

Đây là một phương trình bậc hai đơn giản. Chúng ta có thể đặt nhân tử chung là t:
t(t – 28) = 0

Để tích này bằng 0, thì một trong hai thừa số phải bằng 0.
Trường hợp 1: t = 0
Trường hợp 2: t – 28 = 0 => t = 28

Bước 5: Thay ẩn phụ trở lại để tìm x.
Chúng ta có hai giá trị của t, bây giờ chúng ta sẽ thay \(t = x^2 – 3x\) vào từng trường hợp để tìm x.

Trường hợp 1: t = 0
Ta có: x^2 – 3x = 0
Đặt nhân tử chung x:
x(x – 3) = 0
Vậy, ta có hai nghiệm:
x = 0
hoặc x – 3 = 0 => x = 3

Trường hợp 2: t = 28
Ta có: x^2 – 3x = 28
Chuyển 28 sang vế trái để đưa về dạng phương trình bậc hai chuẩn:
x^2 – 3x – 28 = 0

Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Ở đây, thầy sẽ hướng dẫn các em phân tích thành nhân tử cho quen thuộc nhé.
Chúng ta cần tìm hai số có tích là -28 và tổng là -3. Hai số đó là -7 và 4.
Ta viết lại phương trình như sau:
x^2 – 7x + 4x – 28 = 0

Nhóm các hạng tử:
(x^2 – 7x) + (4x – 28) = 0
Đặt nhân tử chung trong từng nhóm:
x(x – 7) + 4(x – 7) = 0

Đặt nhân tử chung (x – 7):
(x – 7)(x + 4) = 0

Vậy, ta có hai nghiệm:
x – 7 = 0 => x = 7
hoặc x + 4 = 0 => x = -4

Bước 6: Kết luận nghiệm của phương trình.
Tổng hợp tất cả các nghiệm mà chúng ta tìm được từ các trường hợp, phương trình ban đầu có các nghiệm là:
x = 0
x = 3
x = 7
x = -4

Vậy, tập nghiệm của phương trình là \(S = \{0, 3, 7, -4\}\).

Các em thấy đấy, tuy bài toán có vẻ dài nhưng nếu chúng ta biết cách nhóm hạng tử, đặt ẩn phụ thì bài toán sẽ trở nên rất gọn gàng và dễ giải. Hãy nhớ ôn tập kỹ phương pháp này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!