Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tìm x khá thú vị thuộc dạng phương trình tích. Bài toán này yêu cầu chúng ta tìm giá trị của x sao cho biểu thức (x+2)(x+3)(x-5)(x-6) bằng 180.

Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần vận dụng kỹ năng nhóm các thừa số một cách hợp lý.

Bước 1: Nhóm các thừa số một cách khéo léo.
Quan sát biểu thức, chúng ta thấy có thể nhóm (x+2) với (x-5) và (x+3) với (x-6) vì tổng của các hằng số trong các cặp này bằng nhau:
2 + (-5) = -3
3 + (-6) = -3

Vậy, ta có thể viết lại phương trình như sau:
(x+2)(x-5) * (x+3)(x-6) = 180

Bước 2: Nhân các cặp thừa số đã nhóm.
Ta thực hiện phép nhân trong từng cặp:
(x+2)(x-5) = x x + x (-5) + 2 x + 2 (-5) = x^2 – 5x + 2x – 10 = x^2 – 3x – 10
(x+3)(x-6) = x x + x (-6) + 3 x + 3 (-6) = x^2 – 6x + 3x – 18 = x^2 – 3x – 18

Bây giờ, phương trình của chúng ta trở thành:
(x^2 – 3x – 10)(x^2 – 3x – 18) = 180

Bước 3: Đặt biến phụ để đưa về phương trình bậc hai.
Ta nhận thấy cả hai biểu thức trong ngoặc đều có chung phần là (x^2 – 3x). Để đơn giản hóa bài toán, chúng ta sẽ đặt một biến phụ.
Đặt t = x^2 – 3x.

Khi đó, phương trình trở thành:
(t – 10)(t – 18) = 180

Bước 4: Giải phương trình bậc hai theo biến phụ t.
Ta khai triển biểu thức:
t t + t (-18) + (-10) t + (-10) (-18) = 180
t^2 – 18t – 10t + 180 = 180
t^2 – 28t + 180 = 180

Chuyển 180 sang vế trái:
t^2 – 28t + 180 – 180 = 0
t^2 – 28t = 0

Đây là một phương trình bậc hai theo t. Ta có thể giải bằng cách đặt nhân tử chung:
t(t – 28) = 0

Từ đây, ta suy ra hai trường hợp:
Trường hợp 1: t = 0
Trường hợp 2: t – 28 = 0 => t = 28

Bước 5: Thay biến phụ trở lại để tìm x.
Bây giờ, chúng ta sẽ lần lượt thay các giá trị của t vào lại biểu thức t = x^2 – 3x để tìm x.

Trường hợp 1: t = 0
x^2 – 3x = 0
Đặt nhân tử chung là x:
x(x – 3) = 0

Từ đây, ta có hai trường hợp nhỏ:
x = 0
hoặc
x – 3 = 0 => x = 3

Trường hợp 2: t = 28
x^2 – 3x = 28
Chuyển 28 sang vế trái để được phương trình bậc hai quen thuộc:
x^2 – 3x – 28 = 0

Để giải phương trình bậc hai này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm. Ở chương trình lớp 8, chúng ta thường phân tích thành nhân tử. Ta tìm hai số có tích là -28 và tổng là -3. Hai số đó là -7 và 4.
x^2 – 7x + 4x – 28 = 0
Nhóm các hạng tử:
x(x – 7) + 4(x – 7) = 0
(x – 7)(x + 4) = 0

Từ đây, ta có hai trường hợp nhỏ:
x – 7 = 0 => x = 7
hoặc
x + 4 = 0 => x = -4

Bước 6: Kết luận tập nghiệm của phương trình.
Vậy, phương trình ban đầu có các giá trị của x là: 0, 3, 7, và -4.

Ta có thể viết tập nghiệm của phương trình là S = {0; 3; 7; -4}.

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Các em thấy đấy, việc nhóm các thừa số và đặt biến phụ là những kỹ thuật rất hữu ích để giải quyết các bài toán phức tạp.

Hẹn gặp lại các em trong những bài học tiếp theo!