Chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị liên quan đến biểu thức đại số. Cô tin rằng với sự hướng dẫn chi tiết và phương pháp tiếp cận đúng đắn, các em sẽ nắm vững bài toán này.

Chúng ta sẽ thực hiện phép tính: 4x^2 + 1/x : (1-2x)

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ các phép toán xuất hiện trong bài. Đây là phép cộng và phép chia. Trong một biểu thức có cả phép cộng và phép chia, chúng ta sẽ ưu tiên thực hiện phép chia trước, sau đó mới đến phép cộng.

Bước 1: Thực hiện phép chia

Phép chia ở đây là: \( \frac{1}{x} : (1-2x) \)

Nhớ lại quy tắc chia hai phân số: muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân phân số thứ nhất với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai.
Phân số thứ nhất là \( \frac{1}{x} \).
Phân số thứ hai là \( (1-2x) \), ta có thể viết nó dưới dạng phân số là \( \frac{1-2x}{1} \).
Phân số nghịch đảo của \( \frac{1-2x}{1} \) là \( \frac{1}{1-2x} \).

Vậy, phép chia trở thành:
\( \frac{1}{x} \times \frac{1}{1-2x} \)

Khi nhân hai phân số, ta nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số:
\( \frac{1 \times 1}{x \times (1-2x)} \)
\( \frac{1}{x(1-2x)} \)

Bây giờ, chúng ta có thể thực hiện phép nhân ở mẫu số để biểu thức gọn gàng hơn:
\( x \times (1-2x) = x \times 1 – x \times 2x = x – 2x^2 \)

Vậy, kết quả của phép chia là:
\( \frac{1}{x-2x^2} \)

Bước 2: Thực hiện phép cộng

Bây giờ, chúng ta sẽ thay kết quả của phép chia vào biểu thức ban đầu:
\( 4x^2 + \frac{1}{x-2x^2} \)

Để cộng hai biểu thức này, chúng ta cần quy đồng mẫu số.
Biểu thức thứ nhất là \( 4x^2 \), ta có thể viết dưới dạng phân số là \( \frac{4x^2}{1} \).
Mẫu số chung của hai biểu thức là \( x-2x^2 \).

Ta quy đồng phân số thứ nhất:
\( \frac{4x^2}{1} = \frac{4x^2 \times (x-2x^2)}{1 \times (x-2x^2)} = \frac{4x^2(x-2x^2)}{x-2x^2} \)

Thực hiện phép nhân ở tử số:
\( 4x^2 \times (x-2x^2) = 4x^2 \times x – 4x^2 \times 2x^2 = 4x^3 – 8x^4 \)

Vậy, phân số thứ nhất sau khi quy đồng là:
\( \frac{4x^3 – 8x^4}{x-2x^2} \)

Bây giờ, ta cộng hai phân số đã quy đồng:
\( \frac{4x^3 – 8x^4}{x-2x^2} + \frac{1}{x-2x^2} \)

Vì hai phân số đã có cùng mẫu số, ta chỉ việc cộng các tử số lại với nhau:
\( \frac{(4x^3 – 8x^4) + 1}{x-2x^2} \)
\( \frac{4x^3 – 8x^4 + 1}{x-2x^2} \)

Chúng ta có thể sắp xếp lại các số hạng ở tử số theo lũy thừa giảm dần của x cho đẹp hơn, tuy nhiên điều này không bắt buộc.
\( \frac{-8x^4 + 4x^3 + 1}{x-2x^2} \)

Điều kiện xác định của biểu thức:

Trong quá trình thực hiện phép tính, chúng ta cần lưu ý đến các điều kiện để các mẫu số khác 0.
– Trong phép chia \( \frac{1}{x} : (1-2x) \):
– \( x \neq 0 \) (để \( \frac{1}{x} \) xác định)
– \( 1-2x \neq 0 \) (để phép chia xác định), suy ra \( 2x \neq 1 \), hay \( x \neq \frac{1}{2} \).
– Trong biểu thức cuối cùng \( \frac{-8x^4 + 4x^3 + 1}{x-2x^2} \), mẫu số là \( x-2x^2 \).
– \( x-2x^2 \neq 0 \)
– Ta có thể đặt x làm nhân tử chung: \( x(1-2x) \neq 0 \)
– Điều này có nghĩa là \( x \neq 0 \) và \( 1-2x \neq 0 \), tức là \( x \neq \frac{1}{2} \).

Vậy, điều kiện xác định của biểu thức là \( x \neq 0 \) và \( x \neq \frac{1}{2} \).

Kết luận:

Với điều kiện \( x \neq 0 \) và \( x \neq \frac{1}{2} \), biểu thức đã cho được rút gọn thành:
\( \frac{-8x^4 + 4x^3 + 1}{x-2x^2} \)

Các em về nhà ôn tập lại các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số và đừng quên kiểm tra điều kiện xác định của biểu thức nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, hãy mạnh dạn hỏi cô. Chúc các em học tốt!