Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau đi phân tích một đa thức thành nhân tử. Bài tập này có vẻ hơi lạ một chút, nhưng đừng lo, cô sẽ hướng dẫn các em từng bước một nhé.

Đa thức chúng ta cần phân tích là: 4x^2y^2 – (x^2 + y^2 – 1)^2

Các em hãy quan sát kỹ đa thức này. Chúng ta có hai hạng tử chính. Hạng tử thứ nhất là 4x^2y^2. Cô gợi ý các em hãy nhìn xem liệu hạng tử này có thể viết dưới dạng bình phương của một biểu thức nào không? Đúng rồi, chúng ta có thể viết nó thành \((2xy)^2\).

Vậy, đa thức của chúng ta bây giờ sẽ là: \((2xy)^2 – (x^2 + y^2 – 1)^2\)

Bây giờ, các em hãy nhìn vào dạng này: Bình phương của A trừ đi Bình phương của B. Đây chính là hằng đẳng thức quen thuộc mà chúng ta đã học: Hiệu hai bình phương. Các em còn nhớ hằng đẳng thức này không? Đó là:
\[ a^2 – b^2 = (a – b)(a + b) \]

Trong bài toán của chúng ta, ta coi \(a = 2xy\) và \(b = x^2 + y^2 – 1\).
Áp dụng hằng đẳng thức này, chúng ta sẽ có:

\((2xy – (x^2 + y^2 – 1))(2xy + (x^2 + y^2 – 1))\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi rút gọn từng ngoặc một.

Xét ngoặc thứ nhất: \(2xy – (x^2 + y^2 – 1)\)
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu trừ đằng trước, chúng ta phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong ngoặc.
Vậy, \(2xy – x^2 – y^2 + 1\)

Bây giờ, các em hãy xem xét các hạng tử \(x^2, y^2, 2xy\). Chúng có gợi cho các em nhớ đến hằng đẳng thức nào không? Đúng rồi, đó là hằng đẳng thức Bình phương của một hiệu: \((x – y)^2 = x^2 – 2xy + y^2\).
Hoặc nếu nhìn theo thứ tự \(x^2 – 2xy + y^2\) thì nó giống. Tuy nhiên, ở đây chúng ta có \( -x^2 – y^2 + 2xy\). Nếu chúng ta nhóm lại: \(1 – (x^2 – 2xy + y^2)\) thì sẽ đẹp hơn.
Vậy, ngoặc thứ nhất trở thành: \(1 – (x^2 – 2xy + y^2)\)
Và \(x^2 – 2xy + y^2\) chính là \((x – y)^2\).
Do đó, ngoặc thứ nhất là: \(1 – (x – y)^2\)

Tiếp theo, xét ngoặc thứ hai: \(2xy + (x^2 + y^2 – 1)\)
Khi bỏ dấu ngoặc có dấu cộng đằng trước, chúng ta giữ nguyên dấu của các hạng tử bên trong ngoặc.
Vậy, \(2xy + x^2 + y^2 – 1\)
Chúng ta sắp xếp lại các hạng tử để dễ nhìn hơn: \(x^2 + 2xy + y^2 – 1\)
Bây giờ, các em hãy nhìn vào ba hạng tử đầu tiên: \(x^2 + 2xy + y^2\). Đây chính là hằng đẳng thức Bình phương của một tổng: \((x + y)^2\).
Vậy, ngoặc thứ hai là: \((x + y)^2 – 1\)

Như vậy, đa thức của chúng ta bây giờ là: \((1 – (x – y)^2) \cdot ((x + y)^2 – 1)\)

Các em thấy không, hai ngoặc này lại có dạng tương tự nhau: \(1 – (\text{biểu thức})^2\) và \((\text{biểu thức})^2 – 1\).
Chúng ta lại có thể áp dụng tiếp hằng đẳng thức hiệu hai bình phương một lần nữa cho từng ngoặc.

Xét ngoặc thứ nhất: \(1 – (x – y)^2\)
Đây là dạng \(1^2 – (x – y)^2\). Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) với \(a = 1\) và \(b = x – y\).
Chúng ta được: \((1 – (x – y))(1 + (x – y))\)
Rút gọn bên trong mỗi ngoặc: \((1 – x + y)(1 + x – y)\)

Xét ngoặc thứ hai: \((x + y)^2 – 1\)
Đây là dạng \((x + y)^2 – 1^2\). Áp dụng công thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) với \(a = x + y\) và \(b = 1\).
Chúng ta được: \(((x + y) – 1)((x + y) + 1)\)
Rút gọn bên trong mỗi ngoặc: \((x + y – 1)(x + y + 1)\)

Vậy, sau khi áp dụng hằng đẳng thức hai lần, đa thức ban đầu đã được phân tích thành:
\((1 – x + y)(1 + x – y)(x + y – 1)(x + y + 1)\)

Chúng ta có thể sắp xếp lại các hạng tử trong mỗi nhân tử cho gọn gàng hơn:
\((y – x + 1)(-y + x + 1)(x + y – 1)(x + y + 1)\)

Hoặc có thể viết lại như sau, với hạng tử x đứng trước:
\((x + y – 1)(x + y + 1)(-x + y + 1)(x – y + 1)\)

Chúng ta hãy kiểm tra lại từng bước một lần nữa để đảm bảo không có sai sót.
Bước 1: Nhận dạng \(4x^2y^2\) là \((2xy)^2\).
Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\).
Bước 3: Rút gọn các biểu thức trong ngoặc, nhận dạng hằng đẳng thức bình phương của một tổng/hiệu.
Bước 4: Tiếp tục áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương.
Bước 5: Sắp xếp lại các hạng tử trong từng nhân tử.

Kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức thành nhân tử là:
\((x + y – 1)(x + y + 1)(x – y + 1)(-x + y + 1)\)

Hoặc các em có thể viết là:
\((x + y – 1)(x + y + 1)(x – y + 1)(y – x + 1)\)

Các em về nhà luyện tập thêm với các bài tương tự để ghi nhớ các hằng đẳng thức và cách áp dụng nhé. Có gì thắc mắc, các em cứ hỏi cô. Chúc các em học tốt!