Chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán về dãy số có quy luật rất thú vị. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 5 mà chúng ta đã được học.

Các em nhìn vào biểu thức A:

A = 10,9 – 10,4 + 10,3 – 9,8 + 9,7 – 9,2 + 9,1 – …. – 3,8 + 3,7 – 3,2

Đầu tiên, chúng ta cần quan sát xem dãy số này có quy luật gì. Các em thấy các số hạng được ghép cặp với nhau theo phép trừ và phép cộng xen kẽ.

Hãy thử nhóm các số hạng lại theo từng cặp nhé:

(10,9 – 10,4) + (10,3 – 9,8) + (9,7 – 9,2) + (9,1 – ….) + (3,7 – 3,2)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của từng cặp số hạng này.

Cặp thứ nhất: 10,9 – 10,4 = 0,5
Cặp thứ hai: 10,3 – 9,8 = 0,5
Cặp thứ ba: 9,7 – 9,2 = 0,5

Các em thấy quy luật rồi đúng không nào? Mỗi cặp số hạng có dạng (số thứ nhất – số thứ hai) đều có kết quả bằng 0,5.

Bây giờ, vấn đề đặt ra là “…. – 3,8” ở đây có ý nghĩa gì và nó thuộc cặp nào?
Các em hãy quan sát các số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng của mỗi nhóm.
Nhóm thứ nhất: 10,9 và 10,4
Nhóm thứ hai: 10,3 và 9,8
Nhóm thứ ba: 9,7 và 9,2
Nhóm thứ tư: 9,1 và số tiếp theo
…
Nhóm cuối cùng: 3,7 và 3,2

Chúng ta có thể thấy rằng các số hạng đầu của mỗi cặp (ví dụ: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1…) có quy luật là giảm dần 0,6.
Và các số hạng thứ hai của mỗi cặp (ví dụ: 10,4; 9,8; 9,2…) cũng có quy luật là giảm dần 0,6.

Để xác định số lượng các cặp, chúng ta cần xem xét các số hạng đầu tiên của mỗi cặp: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1; …; 3,7.
Đây là một dãy số cách đều với công sai là -0,6.
Chúng ta có thể tìm số các số hạng trong dãy này bằng cách sử dụng công thức tìm số số hạng trong một dãy số cách đều. Tuy nhiên, để đơn giản và phù hợp với lớp 5, cô sẽ hướng dẫn các em cách đếm số các cặp dựa trên sự thay đổi của các số hạng.

Hãy tập trung vào các số hạng đầu tiên của mỗi cặp: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1; …; 3,7.
Và các số hạng thứ hai của mỗi cặp: 10,4; 9,8; 9,2; …; 3,2.

Quan sát cách các cặp được tạo ra:
Cặp 1: 10,9 – 10,4
Cặp 2: 10,3 – 9,8
Cặp 3: 9,7 – 9,2
Cặp 4: 9,1 – (chúng ta cần tìm số tiếp theo)
…
Cặp cuối: 3,7 – 3,2

Hãy xem xét phần nguyên của các số.
Phần nguyên của các số hạng đầu: 10, 10, 9, 9, … , 3.
Phần nguyên của các số hạng thứ hai: 10, 9, 9, … , 3.

Chúng ta có thể quy về cách đếm số lần xuất hiện của một mẫu số lặp lại.
Hãy nhìn vào hai số hạng đầu tiên: 10,9 và 10,4. Hiệu là 0,5.
Tiếp theo là 10,3 và 9,8. Hiệu là 0,5.
Quan sát sự thay đổi giữa các cặp:
Số đầu của cặp sau so với số đầu của cặp trước: 10,3 – 10,9 = -0,6
Số thứ hai của cặp sau so với số thứ hai của cặp trước: 9,8 – 10,4 = -0,6

Vậy, quy luật của các cặp là:
Cặp 1: 10,9 – 10,4
Cặp 2: (10,9 – 0,6) – (10,4 – 0,6) = 10,3 – 9,8
Cặp 3: (10,3 – 0,6) – (9,8 – 0,6) = 9,7 – 9,2
Cứ tiếp tục như vậy.

Chúng ta cần tìm xem có bao nhiêu cặp như thế cho đến khi xuất hiện số 3,2 ở cuối.
Số cuối cùng là 3,2. Số liền trước nó trong biểu thức là 3,7. Vậy cặp cuối cùng là 3,7 – 3,2.

Hãy đếm số các số hạng đầu tiên của mỗi cặp: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1; …; 3,7.
Đây là một dãy số giảm dần. Chúng ta có thể tìm số số hạng của dãy này.
Số số hạng = (Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1
Khoảng cách ở đây là -0,6.
Nếu chúng ta coi đây là một dãy số tăng dần thì khoảng cách là 0,6 và số đầu là 3,7, số cuối là 10,9.
Số các số hạng = (10,9 – 3,7) : 0,6 + 1
Số các số hạng = 7,2 : 0,6 + 1
Để chia 7,2 cho 0,6, ta nhân cả hai số với 10: 72 : 6 = 12.
Vậy, số các số hạng là: 12 + 1 = 13 số.

Tuy nhiên, nhìn vào biểu thức gốc, ta thấy các số hạng được ghép theo cặp (số trừ, số bị trừ).
A = (10,9 – 10,4) + (10,3 – 9,8) + (9,7 – 9,2) + (9,1 – 8,6) + … + (3,7 – 3,2)

Các số hạng đầu tiên của các cặp: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1; …; 3,7.
Chúng ta đã tính được dãy này có 13 số hạng.
Điều này có nghĩa là có 13 cặp số hạng trong biểu thức A.

Vì mỗi cặp có giá trị bằng 0,5, và có 13 cặp, nên tổng của A sẽ là:
A = 13 × 0,5

Thực hiện phép nhân:
13 × 0,5 = 13 × 5/10 = 13 × 1/2 = 13/2 = 6,5

Vậy, giá trị của A là 6,5.

Cô xin nhắc lại các bước để các em dễ hiểu hơn:
Bước 1: Quan sát và nhận diện quy luật của các số hạng trong biểu thức. Ta thấy các số hạng được ghép cặp theo phép trừ và cộng xen kẽ, và hiệu của các cặp số hạng (khi nhóm lại) là không đổi.
Bước 2: Thực hiện phép tính trừ trong từng cặp để xác định giá trị của mỗi cặp.
(10,9 – 10,4) = 0,5
(10,3 – 9,8) = 0,5
(9,7 – 9,2) = 0,5
Và cứ tiếp tục như vậy cho đến cặp cuối cùng: (3,7 – 3,2) = 0,5.
Bước 3: Xác định số lượng các cặp trong biểu thức. Để làm điều này, ta xem xét dãy các số hạng đứng đầu của mỗi cặp: 10,9; 10,3; 9,7; 9,1; …; 3,7. Đây là một dãy số cách đều với công sai -0,6. Ta tìm số số hạng của dãy này.
Số số hạng = (Số cuối – Số đầu) : Khoảng cách + 1
Số số hạng = (10,9 – 3,7) : 0,6 + 1 = 7,2 : 0,6 + 1 = 12 + 1 = 13 số.
Vì có 13 số hạng đầu, nên có 13 cặp.
Bước 4: Tính tổng của biểu thức A bằng cách nhân giá trị của mỗi cặp với số lượng các cặp.
A = Giá trị mỗi cặp × Số lượng cặp
A = 0,5 × 13 = 6,5.

Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta biết cách quan sát và tìm ra quy luật của nó. Hãy luôn cố gắng suy nghĩ, phân tích đề bài thật kỹ nhé!