Chào các em học sinh thân mến! Cô rất vui được đồng hành cùng các em trong buổi học hôm nay.
Chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán thú vị về phương trình bậc cao, dạng khai triển và rút gọn biểu thức.
Các em hãy cùng quan sát đề bài trên bảng nhé.
Chúng ta cần giải phương trình:
(3x + 2)( x^2-1)=(9x^2-4)(x+1)

Bước 1: Khai triển các biểu thức ở hai vế của phương trình.
Cô sẽ sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức, tức là lấy từng hạng tử của đa thức này nhân với từng hạng tử của đa thức kia.
Vế trái: (3x + 2)( x^2-1)
Ta có: 3x nhân (x^2 – 1) cộng 2 nhân (x^2 – 1)
= (3x x^2 – 3x 1) + (2 x^2 – 2 1)
= (3x^3 – 3x) + (2x^2 – 2)
= 3x^3 + 2x^2 – 3x – 2

Vế phải: (9x^2-4)(x+1)
Ta có: 9x^2 nhân (x+1) trừ 4 nhân (x+1)
= (9x^2 x + 9x^2 1) – (4 x + 4 1)
= (9x^3 + 9x^2) – (4x + 4)
= 9x^3 + 9x^2 – 4x – 4
*Lưu ý: Ở đây, cô đã áp dụng quy tắc nhân đa thức cơ bản.

Bước 2: Viết lại phương trình sau khi đã khai triển.
Bây giờ, phương trình của chúng ta trở thành:
3x^3 + 2x^2 – 3x – 2 = 9x^3 + 9x^2 – 4x – 4

Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để đưa về dạng phương trình bậc ba.
Để giải phương trình này, chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử từ vế phải sang vế trái. Khi chuyển vế, nhớ đổi dấu của các hạng tử.
3x^3 + 2x^2 – 3x – 2 – (9x^3 + 9x^2 – 4x – 4) = 0
3x^3 + 2x^2 – 3x – 2 – 9x^3 – 9x^2 + 4x + 4 = 0

Bước 4: Rút gọn và nhóm các hạng tử đồng dạng.
Bây giờ, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử có cùng bậc với nhau:
(3x^3 – 9x^3) + (2x^2 – 9x^2) + (-3x + 4x) + (-2 + 4) = 0
Thực hiện phép tính:
-6x^3 – 7x^2 + x + 2 = 0
Để thuận tiện cho việc giải, cô sẽ nhân cả hai vế với -1 để hệ số của x^3 là dương:
6x^3 + 7x^2 – x – 2 = 0

Bước 5: Tìm nghiệm của phương trình bậc ba.
Đây là một phương trình bậc ba. Việc tìm nghiệm của phương trình bậc ba nói chung khá phức tạp. Tuy nhiên, trong chương trình lớp 8, chúng ta thường gặp các trường hợp có thể nhẩm nghiệm hoặc sử dụng các phương pháp phân tích nhân tử.
Chúng ta hãy thử nhẩm nghiệm hữu tỉ bằng cách thử các ước của số hạng tự do (-2) chia cho các ước của hệ số bậc cao nhất (6).
Các ước của -2 là: ±1, ±2.
Các ước của 6 là: ±1, ±2, ±3, ±6.
Các nghiệm hữu tỉ có thể là: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3.

Cô thử với x = 1: 6(1)^3 + 7(1)^2 – 1 – 2 = 6 + 7 – 1 – 2 = 10 ≠ 0.
Cô thử với x = -1: 6(-1)^3 + 7(-1)^2 – (-1) – 2 = -6 + 7 + 1 – 2 = 0. Vậy x = -1 là một nghiệm.
*Giải thích: Khi thay x = -1 vào phương trình và kết quả bằng 0, điều đó có nghĩa là (x – (-1)), tức là (x+1) là một nhân tử của đa thức.

Vì x = -1 là một nghiệm, nên (x+1) là một nhân tử của đa thức 6x^3 + 7x^2 – x – 2.
Chúng ta sẽ thực hiện phép chia đa thức hoặc tách hạng tử để phân tích nhân tử.
Cô sẽ tách hạng tử:
6x^3 + 6x^2 + x^2 + x – 2x – 2 = 0
Nhóm các hạng tử:
(6x^3 + 6x^2) + (x^2 + x) + (-2x – 2) = 0
Đặt nhân tử chung:
6x^2(x+1) + x(x+1) – 2(x+1) = 0
Đặt nhân tử chung (x+1):
(x+1)(6x^2 + x – 2) = 0

Bước 6: Giải phương trình tích.
Phương trình tích cho ta hai trường hợp:
Trường hợp 1: x + 1 = 0
=> x = -1

Trường hợp 2: 6x^2 + x – 2 = 0
Đây là một phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm các nghiệm còn lại.
Phương trình có dạng ax^2 + bx + c = 0, với a=6, b=1, c=-2.
Tính biệt thức Delta:
\[ \Delta = b^2 – 4ac \]
\[ \Delta = 1^2 – 4(6)(-2) \]
\[ \Delta = 1 + 48 \]
\[ \Delta = 49 \]
Vì
\[ \Delta > 0 \]
nên phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Nghiệm của phương trình bậc hai được tính bằng công thức:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \]

Tính nghiệm thứ nhất:
\[ x_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2(6)} \]
\[ x_1 = \frac{-1 + 7}{12} \]
\[ x_1 = \frac{6}{12} \]
\[ x_1 = \frac{1}{2} \]

Tính nghiệm thứ hai:
\[ x_2 = \frac{-1 – \sqrt{49}}{2(6)} \]
\[ x_2 = \frac{-1 – 7}{12} \]
\[ x_2 = \frac{-8}{12} \]
\[ x_2 = -\frac{2}{3} \]

Bước 7: Kết luận.
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là: x = -1, x = 1/2 và x = -2/3.
Các em thấy đấy, bài toán này đòi hỏi sự cẩn thận trong từng bước khai triển, rút gọn và đặc biệt là kỹ năng giải phương trình bậc ba đã được phân tích thành nhân tử.
Chúc các em ôn tập thật tốt!