Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng toán giới hạn dãy số khá quen thuộc trong chương trình Toán lớp 11, đó là các bài toán liên quan đến biểu thức có căn thức. Chúng ta sẽ bám sát kiến thức trong Sách giáo khoa để giải quyết từng bài tập một cách chi tiết nhé.

Các em hãy lấy vở ra và ghi bài.

—

Chúng ta bắt đầu với bài tập tính giới hạn các dãy số sau:

a) \( \lim (\sqrt{n^{2}-1}-2n) \)

Quan sát biểu thức \( \sqrt{n^{2}-1}-2n \), khi \( n \) tiến ra vô cùng, ta thấy \( \sqrt{n^2-1} \) tiến ra vô cùng và \( 2n \) cũng tiến ra vô cùng. Đây là dạng vô định \( \infty – \infty \).

Để giải quyết dạng này, chúng ta sẽ tìm cách đưa thừa số \( n \) ra ngoài dấu căn hoặc sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Tuy nhiên, ở bài này, chúng ta có thể thấy rõ \( 2n \) “áp đảo” \( \sqrt{n^2-1} \) vì \( \sqrt{n^2-1} \) chỉ tương đương với \( n \) khi \( n \) rất lớn. Do đó, chúng ta sẽ thử đưa \( n \) ra ngoài dấu căn từ bên trong.

Ta có:
\( \sqrt{n^2-1} = \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n^2})} \)
Vì \( n \) tiến ra vô cùng nên \( n > 0 \), ta có thể đưa \( n \) ra ngoài dấu căn:
\( \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n^2})} = \sqrt{n^2} \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} = n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \)

Vậy biểu thức trở thành:
\( \sqrt{n^2-1}-2n = n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2n \)
Ta đặt \( n \) làm nhân tử chung:
\( = n \left( \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2 \right) \)

Bây giờ, chúng ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2 \right) \)

Ta biết rằng:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \)
Do đó:
\( \lim_{n \to \infty} \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} = \sqrt{1-0} = \sqrt{1} = 1 \)

Vậy, \( \lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2 \right) = 1 – 2 = -1 \)

Ta có một nhân tử là \( n \) tiến ra \( +\infty \) và nhân tử còn lại \( \left( \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2 \right) \) tiến ra \( -1 \).
Khi đó, giới hạn sẽ là:
\( \lim_{n \to \infty} n \left( \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} – 2 \right) = (+\infty) \times (-1) = -\infty \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2}-1}-2n) = -\infty \)

—

b) \( \lim (\sqrt{n^{2}-3n}-n) \)

Biểu thức \( \sqrt{n^{2}-3n}-n \) cũng rơi vào dạng vô định \( \infty – \infty \) khi \( n \to \infty \).
Ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp. Công thức nhân liên hợp cho biểu thức dạng \( \sqrt{A} – B \) là \( (\sqrt{A} – B) \frac{\sqrt{A} + B}{\sqrt{A} + B} = \frac{A – B^2}{\sqrt{A} + B} \).

Ở đây, \( A = n^2-3n \) và \( B = n \).
Ta có:
\( \sqrt{n^{2}-3n}-n = (\sqrt{n^{2}-3n}-n) \frac{\sqrt{n^{2}-3n}+n}{\sqrt{n^{2}-3n}+n} \)
\( = \frac{(n^2-3n) – n^2}{\sqrt{n^{2}-3n}+n} \)
\( = \frac{-3n}{\sqrt{n^{2}-3n}+n} \)

Bây giờ, để tính giới hạn, chúng ta sẽ chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của \( n \) ở mẫu, đó là \( n \).
Ta lưu ý: \( \sqrt{n^2-3n} = \sqrt{n^2(1-\frac{3}{n})} = n \sqrt{1-\frac{3}{n}} \) (vì \( n>0 \)).

Vậy, biểu thức trở thành:
\( \frac{-3n}{n \sqrt{1-\frac{3}{n}}+n} \)
Ta rút gọn \( n \) ở tử và mẫu:
\( \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{n}}+1} \)

Bây giờ ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{-3}{\sqrt{1-\frac{3}{n}}+1} \)

Ta biết rằng \( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 \).
Do đó:
\( \lim_{n \to \infty} \sqrt{1-\frac{3}{n}} = \sqrt{1-0} = 1 \)

Vậy, giới hạn của mẫu là \( 1 + 1 = 2 \).
Do đó, giới hạn của biểu thức là:
\( \frac{-3}{2} \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2}-3n}-n) = -\frac{3}{2} \)

—

c) \( \lim (\sqrt{n^{2}-n-3}-n) \)

Biểu thức \( \sqrt{n^{2}-n-3}-n \) cũng là dạng vô định \( \infty – \infty \). Ta tiếp tục sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Ở đây, \( A = n^2-n-3 \) và \( B = n \).

\( \sqrt{n^{2}-n-3}-n = (\sqrt{n^{2}-n-3}-n) \frac{\sqrt{n^{2}-n-3}+n}{\sqrt{n^{2}-n-3}+n} \)
\( = \frac{(n^2-n-3) – n^2}{\sqrt{n^{2}-n-3}+n} \)
\( = \frac{-n-3}{\sqrt{n^{2}-n-3}+n} \)

Bây giờ, chúng ta chia cả tử và mẫu cho \( n \).
Ta có: \( \sqrt{n^2-n-3} = \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2})} = n \sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}} \) (vì \( n>0 \)).

Biểu thức trở thành:
\( \frac{-n-3}{n \sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}+n} \)
Ta chia tử và mẫu cho \( n \):
\( \frac{\frac{-n}{n}-\frac{3}{n}}{\frac{n \sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}}{n}+\frac{n}{n}} \)
\( = \frac{-1-\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}+1} \)

Bây giờ ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{-1-\frac{3}{n}}{\sqrt{1-\frac{1}{n}-\frac{3}{n^2}}+1} \)

Ta có:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n^2} = 0 \)

Do đó, giới hạn của mẫu là \( \sqrt{1-0-0} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2 \).
Giới hạn của tử là \( -1 – 0 = -1 \).

Vậy, giới hạn của biểu thức là:
\( \frac{-1}{2} \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^{2}-n-3}-n) = -\frac{1}{2} \)

—

d) \( \lim(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+2}) \)

Đây lại là một trường hợp vô định \( \infty – \infty \). Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Ở đây, \( A = n^2+2n \) và \( B = n^2+2 \). Ta áp dụng công thức \( \sqrt{A} – \sqrt{B} = \frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}} \).

\( \sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+2} = \frac{(n^2+2n) – (n^2+2)}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+2}} \)
\( = \frac{n^2+2n-n^2-2}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+2}} \)
\( = \frac{2n-2}{\sqrt{n^2+2n}+\sqrt{n^2+2}} \)

Bây giờ, chúng ta chia cả tử và mẫu cho \( n \) (lũy thừa cao nhất của \( n \) ở mẫu).
Ta có:
\( \sqrt{n^2+2n} = \sqrt{n^2(1+\frac{2}{n})} = n \sqrt{1+\frac{2}{n}} \) (vì \( n>0 \))
\( \sqrt{n^2+2} = \sqrt{n^2(1+\frac{2}{n^2})} = n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}} \) (vì \( n>0 \))

Biểu thức trở thành:
\( \frac{2n-2}{n \sqrt{1+\frac{2}{n}}+n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}} \)
Chia cả tử và mẫu cho \( n \):
\( \frac{\frac{2n}{n}-\frac{2}{n}}{\frac{n \sqrt{1+\frac{2}{n}}}{n}+\frac{n \sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}{n}} \)
\( = \frac{2-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}} \)

Bây giờ ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2-\frac{2}{n}}{\sqrt{1+\frac{2}{n}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}} \)

Ta có:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0 \)

Do đó, giới hạn của tử là \( 2 – 0 = 2 \).
Giới hạn của mẫu là \( \sqrt{1+0} + \sqrt{1+0} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \).

Vậy, giới hạn của biểu thức là:
\( \frac{2}{2} = 1 \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2+2n}-\sqrt{n^2+2}) = 1 \)

—

e) \( \lim(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-1}) \)

Đây cũng là dạng vô định \( \infty – \infty \). Ta dùng phương pháp nhân liên hợp.
\( A = n^2+n+2 \) và \( B = n^2-1 \).

\( \sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-1} = \frac{(n^2+n+2) – (n^2-1)}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-1}} \)
\( = \frac{n^2+n+2-n^2+1}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-1}} \)
\( = \frac{n+3}{\sqrt{n^2+n+2}+\sqrt{n^2-1}} \)

Chia cả tử và mẫu cho \( n \).
\( \sqrt{n^2+n+2} = \sqrt{n^2(1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2})} = n \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}} \)
\( \sqrt{n^2-1} = \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n^2})} = n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}} \)

Biểu thức trở thành:
\( \frac{n+3}{n \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}} \)
Chia cả tử và mẫu cho \( n \):
\( \frac{\frac{n}{n}+\frac{3}{n}}{\frac{n \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}}{n}+\frac{n \sqrt{1-\frac{1}{n^2}}}{n}} \)
\( = \frac{1+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}} \)

Bây giờ ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{2}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}} \)

Ta có:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n^2} = 0 \)
\( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \)

Giới hạn của tử là \( 1 + 0 = 1 \).
Giới hạn của mẫu là \( \sqrt{1+0+0} + \sqrt{1-0} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2 \).

Vậy, giới hạn của biểu thức là:
\( \frac{1}{2} \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2+n+2}-\sqrt{n^2-1}) = \frac{1}{2} \)

—

f) \( \lim(\sqrt{n^2-n}-n) \)

Đây là dạng vô định \( \infty – \infty \). Ta sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
\( A = n^2-n \) và \( B = n \).

\( \sqrt{n^2-n}-n = (\sqrt{n^2-n}-n) \frac{\sqrt{n^2-n}+n}{\sqrt{n^2-n}+n} \)
\( = \frac{(n^2-n) – n^2}{\sqrt{n^2-n}+n} \)
\( = \frac{-n}{\sqrt{n^2-n}+n} \)

Chia cả tử và mẫu cho \( n \).
Ta có: \( \sqrt{n^2-n} = \sqrt{n^2(1-\frac{1}{n})} = n \sqrt{1-\frac{1}{n}} \) (vì \( n>0 \)).

Biểu thức trở thành:
\( \frac{-n}{n \sqrt{1-\frac{1}{n}}+n} \)
Chia cả tử và mẫu cho \( n \):
\( \frac{\frac{-n}{n}}{\frac{n \sqrt{1-\frac{1}{n}}}{n}+\frac{n}{n}} \)
\( = \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1} \)

Bây giờ ta tính giới hạn:
\( \lim_{n \to \infty} \frac{-1}{\sqrt{1-\frac{1}{n}}+1} \)

Ta có \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \).
Do đó, giới hạn của mẫu là \( \sqrt{1-0} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2 \).

Vậy, giới hạn của biểu thức là:
\( \frac{-1}{2} \)

Kết luận: \( \lim_{n \to \infty}(\sqrt{n^2-n}-n) = -\frac{1}{2} \)

—

Vậy là chúng ta đã cùng nhau giải quyết xong các bài tập về giới hạn dãy số. Các em về nhà ôn tập kỹ các phương pháp này, đặc biệt là cách nhận diện dạng vô định và kỹ thuật nhân liên hợp nhé. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em cứ mạnh dạn hỏi thầy.

Buổi học hôm nay kết thúc tại đây. Chào các em!