Chào các em học sinh yêu quý của lớp 5! Hôm nay, cô rất vui được đồng hành cùng các em với một bài toán rất thú vị và bổ ích. Chúng ta cùng nhau chinh phục bài tập này nhé!

Bài tập của chúng ta hôm nay có hai phần.

Phần a, chúng ta cần tính nhanh tổng của một dãy các phân số: 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 + 1/4×5 + 1/5×6 + 1/6×7 + 1/ 7×8 + 1/8×9 + 1/9×10.

Phần b, chúng ta sẽ tìm xem dãy số chẵn từ 2 đến 1998 có bao nhiêu chữ số.

Chúng ta bắt đầu với phần a nhé!

Phần a: Tính nhanh

Các em thân mến, khi nhìn vào dãy phân số này, chúng ta thấy mẫu số của mỗi phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Ví dụ, phân số đầu tiên có mẫu là 1×2, phân số thứ hai có mẫu là 2×3, cứ thế tiếp diễn.

Bây giờ, chúng ta hãy thử xem xét một phân số bất kỳ trong dãy này, ví dụ như phân số 1/1×2. Các em có nhận ra rằng chúng ta có thể viết lại phân số này dưới dạng hiệu của hai phân số khác không?

Chúng ta biết rằng:
\( \frac{1}{1 \times 2} = \frac{2-1}{1 \times 2} = \frac{2}{1 \times 2} – \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \)

Tiếp theo, với phân số thứ hai, 1/2×3:
\( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{3-2}{2 \times 3} = \frac{3}{2 \times 3} – \frac{2}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)

Các em thấy điều kỳ diệu gì xảy ra không? Phân số thứ nhất có -1/2, và phân số thứ hai lại có +1/2. Khi cộng hai phân số này lại, -1/2 và +1/2 sẽ triệt tiêu lẫn nhau!

Chúng ta hãy áp dụng quy luật này cho cả dãy phân số:

\( \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \)
\( \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \)
\( \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} – \frac{1}{5} \)
\( \frac{1}{5 \times 6} = \frac{1}{5} – \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{6 \times 7} = \frac{1}{6} – \frac{1}{7} \)
\( \frac{1}{7 \times 8} = \frac{1}{7} – \frac{1}{8} \)
\( \frac{1}{8 \times 9} = \frac{1}{8} – \frac{1}{9} \)
\( \frac{1}{9 \times 10} = \frac{1}{9} – \frac{1}{10} \)

Bây giờ, chúng ta cộng tất cả các phân số này lại. Các em sẽ thấy rằng các phân số ở giữa sẽ lần lượt bị triệt tiêu:

\( (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} – \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} – \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} – \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} – \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} – \frac{1}{7}) + (\frac{1}{7} – \frac{1}{8}) + (\frac{1}{8} – \frac{1}{9}) + (\frac{1}{9} – \frac{1}{10}) \)

= \( \frac{1}{1} – \frac{1}{10} \) (vì các số hạng khác đều bị triệt tiêu)

Bây giờ, chúng ta chỉ còn lại hai phân số đơn giản để tính:
\( \frac{1}{1} – \frac{1}{10} = \frac{10}{10} – \frac{1}{10} = \frac{9}{10} \)

Vậy, kết quả của phần a là 9/10. Các em thấy cách làm này có nhanh và hiệu quả không nào?

Phần b: Tìm số chữ số trong dãy số

Dãy số của chúng ta là: 2, 4, 6, 8, …, 1996, 1998. Đây là dãy các số chẵn liên tiếp.

Đầu tiên, chúng ta cần xác định xem dãy này có bao nhiêu số hạng.
Các số trong dãy này đều là số chẵn. Chúng ta có thể tính số lượng số hạng bằng công thức:
Số số hạng = (Số cuối – Số đầu) / Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp + 1

Trong trường hợp này:
Số cuối là 1998.
Số đầu là 2.
Khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp là 4 – 2 = 2.

Vậy, số các số hạng trong dãy là:
\( (1998 – 2) / 2 + 1 = 1996 / 2 + 1 = 998 + 1 = 999 \) số hạng.

Bây giờ, chúng ta cần tính xem dãy số gồm 999 số hạng này có bao nhiêu chữ số. Để làm được điều này, chúng ta sẽ chia dãy số thành các nhóm dựa trên số lượng chữ số của các số hạng.

1. Các số có 1 chữ số:
Các số chẵn có 1 chữ số là: 2, 4, 6, 8.
Có 4 số này.
Tổng số chữ số của nhóm này là: \( 4 \times 1 = 4 \) chữ số.

2. Các số có 2 chữ số:
Các số chẵn có 2 chữ số bắt đầu từ 10 đến 98.
Để tìm số lượng số chẵn có 2 chữ số, chúng ta có thể dùng công thức tương tự:
Số số hạng = (Số cuối – Số đầu) / 2 + 1
Số số hạng = \( (98 – 10) / 2 + 1 = 88 / 2 + 1 = 44 + 1 = 45 \) số.
Tuy nhiên, chúng ta chỉ lấy các số chẵn. Dãy số chẵn từ 10 đến 98.
Các số chẵn có 2 chữ số là: 10, 12, …, 98.
Số lượng số chẵn từ 10 đến 98 là: \( (98 – 10) / 2 + 1 = 45 \) số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: \( 45 \times 2 = 90 \) chữ số.

3. Các số có 3 chữ số:
Các số chẵn có 3 chữ số bắt đầu từ 100 đến 998.
Số lượng số chẵn từ 100 đến 998 là:
Số số hạng = \( (998 – 100) / 2 + 1 = 898 / 2 + 1 = 449 + 1 = 450 \) số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: \( 450 \times 3 = 1350 \) chữ số.

4. Các số có 4 chữ số:
Các số chẵn có 4 chữ số trong dãy của chúng ta là từ 1000 đến 1998.
Chúng ta cần tìm số lượng số chẵn từ 1000 đến 1998.
Số lượng số chẵn là: \( (1998 – 1000) / 2 + 1 = 998 / 2 + 1 = 499 + 1 = 500 \) số.
Tổng số chữ số của nhóm này là: \( 500 \times 4 = 2000 \) chữ số.

Bây giờ, chúng ta cộng tổng số chữ số của tất cả các nhóm lại:
Tổng số chữ số = Số chữ số của nhóm 1 chữ số + Số chữ số của nhóm 2 chữ số + Số chữ số của nhóm 3 chữ số + Số chữ số của nhóm 4 chữ số
Tổng số chữ số = \( 4 + 90 + 1350 + 2000 \)
Tổng số chữ số = \( 94 + 1350 + 2000 \)
Tổng số chữ số = \( 1444 + 2000 \)
Tổng số chữ số = \( 3444 \) chữ số.

Vậy, dãy số 2, 4, 6, …, 1998 có tổng cộng 3444 chữ số.

Các em thấy bài toán này có hay không nào? Cô hy vọng qua bài học hôm nay, các em đã nắm vững cách tính nhanh tổng các phân số có dạng đặc biệt và cách tìm số chữ số trong một dãy số.

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, các em đừng ngần ngại hỏi cô nhé! Chúc các em học tốt!