Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rất hay và thú vị liên quan đến dạng tổng. Bài toán này sẽ giúp các em rèn luyện kỹ năng phân tích, biến đổi và tính toán.

Các em thân mến, để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ vận dụng một kiến thức quan trọng mà chúng ta đã học ở chương trình lớp 6, đó là phân tích một phân số thành hiệu hai phân số.

Trước hết, các em hãy quan sát kĩ tổng A mà đề bài cho:
A = 1/1×2 + 1/2×3 + 1/3×4 +…………+ 1/99×100

Các em có nhận thấy một quy luật chung trong mỗi số hạng của tổng này không? Mỗi số hạng đều có dạng 1 chia cho tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Ví dụ: 1/1×2, 1/2×3, 1/3×4,…

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm cách “tách” mỗi số hạng này ra. Cô giáo xin nhắc lại công thức rất hữu ích mà chúng ta đã học:
Với hai số tự nhiên a và b khác 0, ta có:
\[ \frac{1}{a \times b} = \frac{1}{b – a} \times \left( \frac{1}{a} – \frac{1}{b} \right) \]

Chúng ta sẽ áp dụng công thức này cho từng số hạng trong tổng A.

Xét số hạng đầu tiên: 1/1×2
Ở đây, ta có a = 1 và b = 2.
Vậy:
\[ \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2 – 1} \times \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{1} \times \left( 1 – \frac{1}{2} \right) = 1 – \frac{1}{2} \]

Xét số hạng thứ hai: 1/2×3
Ở đây, ta có a = 2 và b = 3.
Vậy:
\[ \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{3 – 2} \times \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{1} \times \left( \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \right) = \frac{1}{2} – \frac{1}{3} \]

Xét số hạng thứ ba: 1/3×4
Ở đây, ta có a = 3 và b = 4.
Vậy:
\[ \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{4 – 3} \times \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{1} \times \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{3} – \frac{1}{4} \]

Các em thấy quy luật chưa nào? Cứ mỗi số hạng dạng 1/nx(n+1) đều có thể viết thành hiệu 1/n – 1/(n+1).

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các số hạng trong tổng A bằng các hiệu tương ứng mà chúng ta vừa tìm được.
A = (1/1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) +………….+ (1/99 – 1/100)

Các em hãy nhìn vào biểu thức mới này. Chúng ta thấy có những số hạng “đẹp” sẽ triệt tiêu nhau. Đây chính là dạng toán “cộng trừ liên tiếp” hay còn gọi là “tổng rút gọn”.

A = 1 – 1/2 + 1/2 – 1/3 + 1/3 – 1/4 +………….+ 1/99 – 1/100

Chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại với nhau để dễ nhìn:
A = 1 + (-1/2 + 1/2) + (-1/3 + 1/3) + (-1/4 + 1/4) +………….+ (1/99 – 1/99) – 1/100

Các cặp số đối nhau sẽ có tổng bằng 0:
(-1/2 + 1/2) = 0
(-1/3 + 1/3) = 0
(-1/4 + 1/4) = 0
…
Và tương tự cho đến cặp số cuối cùng liên quan đến 1/99.

Vậy, biểu thức của chúng ta sẽ trở nên rất đơn giản:
A = 1 + 0 + 0 + 0 +………….+ 0 – 1/100

Chỉ còn lại hai số hạng:
A = 1 – 1/100

Bây giờ, chúng ta chỉ cần thực hiện phép trừ hai phân số này. Để trừ hai phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 1 và 100 là 100.

Ta có: 1 = 100/100
Vậy:
A = 100/100 – 1/100

Thực hiện phép trừ:
\[ A = \frac{100 – 1}{100} = \frac{99}{100} \]

Vậy, kết quả cuối cùng của tổng A là 99/100.

Các em thấy không, nhờ việc áp dụng đúng công thức và nhận ra quy luật rút gọn, bài toán phức tạp ban đầu đã trở nên rất dễ dàng. Cô giáo mong rằng qua bài tập này, các em sẽ tự tin hơn khi gặp các bài toán dạng tổng tương tự.

Cô giáo dặn dò thêm: Khi gặp một bài toán tổng có dạng tương tự, các em hãy luôn nghĩ đến việc phân tích từng số hạng thành hiệu và kiểm tra xem có sự rút gọn nào xảy ra không nhé.

Chúc các em học tốt!