Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:2sin^2x + 5sinx – 3 = 0
Chúng ta sẽ tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình: 2sin^2x + 5sinx – 3 = 0
Trước hết, các em hãy quan sát phương trình này. Chúng ta thấy có sự xuất hiện của sin^2x và sinx. Đây là dấu hiệu để chúng ta có thể đưa về một phương trình đại số quen thuộc.
Bước 1: Đặt ẩn phụ
Để bài toán trở nên đơn giản hơn, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ. Ta gọi t = sinx.
Điều kiện của ẩn phụ t này là gì các em nhớ không? Vì sinx luôn nhận giá trị trong khoảng từ -1 đến 1, nên ta có: -1 <= t <= 1.
Khi đó, phương trình ban đầu của chúng ta sẽ trở thành một phương trình bậc hai theo biến t:
2t^2 + 5t - 3 = 0
Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ t
Đây là một phương trình bậc hai quen thuộc. Chúng ta có thể sử dụng công thức nghiệm hoặc phân tích thành nhân tử để tìm t.
* Tính delta (Δ):
Δ = b^2 – 4ac = 5^2 – 4 2 (-3) = 25 + 24 = 49
* Tìm nghiệm t:
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt:
t1 = (-b + sqrt(Δ)) / (2a) = (-5 + sqrt(49)) / (2 * 2) = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 1/2
t2 = (-b – sqrt(Δ)) / (2a) = (-5 – sqrt(49)) / (2 * 2) = (-5 – 7) / 4 = -12 / 4 = -3
Bước 3: Kiểm tra điều kiện của ẩn phụ và tìm nghiệm sinx
Bây giờ, chúng ta cần quay trở lại với điều kiện -1 <= t <= 1 mà chúng ta đã đặt ra ở Bước 1. * Với t1 = 1/2: Giá trị này thỏa mãn điều kiện -1 <= 1/2 <= 1. Vậy, ta có sinx = 1/2. * Với t2 = -3: Giá trị này không thỏa mãn điều kiện -1 <= t <= 1. Vậy, ta loại nghiệm này. Do đó, chúng ta chỉ xét trường hợp sinx = 1/2. Bước 4: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác sinx = 1/2
Chúng ta cần tìm các giá trị của x sao cho sinx = 1/2.
Các em còn nhớ giá trị đặc biệt của cung nào có sin bằng 1/2 không? Đó là góc pi/6 (hoặc 30 độ).
Dựa vào vòng tròn lượng giác hoặc đồ thị hàm sin, chúng ta biết rằng phương trình sinx = a (với -1 <= a <= 1) có hai họ nghiệm: sinx = sin(alpha) <=> x = alpha + k*2pi hoặc x = pi – alpha + k*2pi (với k thuộc Z).
Áp dụng vào trường hợp sinx = 1/2:
sinx = sin(pi/6)
Vậy, ta có hai họ nghiệm sau:
1. x = pi/6 + k*2pi
2. x = pi – pi/6 + k*2pi = 5pi/6 + k*2pi
Trong đó, k là một số nguyên bất kỳ (k thuộc Z).
Bước 5: Tìm nghiệm dương bé nhất
Đề bài yêu cầu chúng ta tìm nghiệm dương bé nhất. Chúng ta sẽ lần lượt xét các giá trị của k để tìm các nghiệm dương và so sánh.
* Xét họ nghiệm thứ nhất: x = pi/6 + k*2pi
* Nếu k = 0: x = pi/6 + 0 = pi/6. Đây là một nghiệm dương.
* Nếu k = 1: x = pi/6 + 2pi = 13pi/6. Đây cũng là một nghiệm dương, lớn hơn pi/6.
* Nếu k = -1: x = pi/6 – 2pi = -11pi/6. Đây là nghiệm âm, ta loại.
* Với k > 0, các nghiệm sẽ càng lớn hơn.
* Xét họ nghiệm thứ hai: x = 5pi/6 + k*2pi
* Nếu k = 0: x = 5pi/6 + 0 = 5pi/6. Đây là một nghiệm dương.
* Nếu k = 1: x = 5pi/6 + 2pi = 17pi/6. Đây cũng là một nghiệm dương, lớn hơn 5pi/6.
* Nếu k = -1: x = 5pi/6 – 2pi = -7pi/6. Đây là nghiệm âm, ta loại.
* Với k > 0, các nghiệm sẽ càng lớn hơn.
Bây giờ, chúng ta so sánh các nghiệm dương mà chúng ta tìm được: pi/6 và 5pi/6.
Rõ ràng, pi/6 < 5pi/6.
Vậy, nghiệm dương bé nhất của phương trình là pi/6.
Kết luận:
Nghiệm dương bé nhất của phương trình 2sin^2x + 5sinx – 3 = 0 là pi/6.
Các em thấy đấy, với phương pháp đặt ẩn phụ và kết hợp kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản, chúng ta đã giải quyết bài toán một cách có hệ thống. Hãy luyện tập thêm các bài tương tự để củng cố kiến thức nhé!
Đáp án:
\(x = {\pi \over 6}\)
Giải thích các bước giải:
\(\eqalign{ & 2{\sin ^2}x + 5\sin x – 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sin x – {1 \over 2}} \right)\left( {\sin x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = {1 \over 2} \hfill \cr \sin x = – 3\,\,\left( {Vo\,\,nghiem} \right) \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr & \Rightarrow \text{Nghiệm dương bé nhất của phương trình là }x = {\pi \over 6} \cr} \)
(khi \(\dfrac{\pi}6+k2\pi\) tại \(k=0\)).
Bạn xem hình