Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau “giải mã” một bài toán thú vị và khá thử thách, giúp chúng ta ôn lại kiến thức về tổng các số tự nhiên liên tiếp nhé. Đây là dạng bài thường gặp trong các kì thi học sinh giỏi hoặc nâng cao đó.

Chúng ta có biểu thức sau:
B= 1 + 1/2( 1 + 2 ) + 1/3( 1 + 2 + 3 ) +…..+ 1/20 ( 1 + 2 + 3 +….+ 20 )

Hãy cùng cô phân tích từng phần của bài toán này nhé!

Bước 1: Phân tích cấu trúc của từng số hạng trong tổng B

Các em hãy quan sát kỹ các số hạng trong tổng B:

• Số hạng thứ nhất: \(1\)
• Số hạng thứ hai: \(\frac{1}{2}(1 + 2)\)
• Số hạng thứ ba: \(\frac{1}{3}(1 + 2 + 3)\)
• …
• Số hạng cuối cùng (thứ 20): \(\frac{1}{20}(1 + 2 + 3 + \ldots + 20)\)

Chúng ta có thể thấy mỗi số hạng có dạng tổng quát là \(\frac{1}{n}(1 + 2 + 3 + \ldots + n)\), trong đó \(n\) lần lượt là \(1, 2, 3, \ldots, 20\).

Bước 2: Sử dụng công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp

Để đơn giản hóa từng số hạng, chúng ta cần nhớ lại công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ \(1\) đến \(n\). Đây là một công thức rất hữu ích mà chúng ta đã học:

Tổng \(1 + 2 + 3 + \ldots + n\) được tính bằng công thức: \(\frac{n \times (n+1)}{2}\).

Giải thích: Công thức này giúp chúng ta tính nhanh tổng một dãy số tự nhiên bắt đầu từ 1. Ví dụ, tổng của 1 đến 5 là \( \frac{5 \times (5+1)}{2} = \frac{5 \times 6}{2} = 15 \). Nếu cộng trực tiếp: \(1+2+3+4+5 = 15\). Các em thấy công thức rất tiện lợi phải không nào?

Bước 3: Đơn giản hóa số hạng tổng quát

Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức trên vào số hạng tổng quát \(\frac{1}{n}(1 + 2 + 3 + \ldots + n)\):

Số hạng đó sẽ trở thành: \(\frac{1}{n} \times \frac{n \times (n+1)}{2}\)

Chúng ta có thể rút gọn \(n\) ở tử số và mẫu số (vì \(n\) ở đây khác 0, nó chạy từ 1 đến 20):

\[ \frac{1}{\cancel{n}} \times \frac{\cancel{n} \times (n+1)}{2} = \frac{n+1}{2} \]

Vậy, mỗi số hạng trong tổng B sau khi được đơn giản hóa sẽ có dạng \(\frac{n+1}{2}\).

Bước 4: Viết lại biểu thức B dưới dạng mới

Bây giờ, chúng ta thay các số hạng đã đơn giản hóa vào biểu thức B:

• Với \(n=1\): số hạng là \(\frac{1+1}{2} = \frac{2}{2} = 1\). (Trùng khớp với số hạng đầu tiên!)
• Với \(n=2\): số hạng là \(\frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}\).
• Với \(n=3\): số hạng là \(\frac{3+1}{2} = \frac{4}{2}\).
• …
• Với \(n=20\): số hạng là \(\frac{20+1}{2} = \frac{21}{2}\).

Do đó, biểu thức B sẽ trở thành:

\[ B = \frac{2}{2} + \frac{3}{2} + \frac{4}{2} + \ldots + \frac{21}{2} \]

Bước 5: Tính tổng B

Chúng ta thấy rằng tất cả các phân số này đều có mẫu số chung là \(2\). Vậy, chúng ta có thể nhóm \(\frac{1}{2}\) ra ngoài làm thừa số chung:

\[ B = \frac{1}{2} \times (2 + 3 + 4 + \ldots + 21) \]

Bây giờ, nhiệm vụ của chúng ta là tính tổng trong dấu ngoặc: \(S = 2 + 3 + 4 + \ldots + 21\).

Giải thích: Đây lại là tổng của một dãy số tự nhiên liên tiếp. Chúng ta có thể tính tổng này bằng cách lấy tổng từ 1 đến 21 rồi trừ đi 1, hoặc dùng công thức tổng quát cho dãy số cách đều.

Cách 1: Sử dụng công thức tính tổng từ 1 đến n.

Tổng từ \(1\) đến \(21\) là: \(\frac{21 \times (21+1)}{2} = \frac{21 \times 22}{2} = 21 \times 11 = 231\).

Vậy, \(S = (1 + 2 + 3 + \ldots + 21) – 1 = 231 – 1 = 230\).

Cách 2: Sử dụng công thức tính tổng của dãy số cách đều (số số hạng, số đầu, số cuối).

• Số số hạng: \((21 – 2) + 1 = 20\) (từ 2 đến 21 có 20 số).
• Tổng \(S = \frac{\text{(Số đầu + Số cuối)} \times \text{Số số hạng}}{2}\)
• \(S = \frac{(2 + 21) \times 20}{2} = \frac{23 \times 20}{2} = 23 \times 10 = 230\).

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả là \(230\).

Cuối cùng, chúng ta thay giá trị của tổng \(S\) vào biểu thức B:

\[ B = \frac{1}{2} \times 230 \]

\[ B = 115 \]

Kết luận:

Vậy giá trị của biểu thức B là \(115\).

Các em thấy không, một bài toán nhìn có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta phân tích từng phần, áp dụng đúng công thức và thực hiện từng bước cẩn thận thì sẽ ra kết quả rất đơn giản. Hãy luôn nhớ ôn lại các công thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức nhé!