Chào các em học sinh yêu quý! Cô là giáo viên Toán lớp 7 của trường. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài tập về lũy thừa rất thú vị trong chương trình Sách giáo khoa Toán 7. Bài tập này giúp chúng ta ôn lại và củng cố các quy tắc về lũy thừa.

Chúng ta sẽ giải bài tập sau:

\[
\frac{3^7 \cdot 16^3}{12^5 \cdot 27^2}
\]

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích các cơ số thành thừa số nguyên tố.
Mục tiêu của chúng ta là đưa tất cả các thừa số về cùng một cơ số chung để dễ dàng áp dụng các quy tắc về lũy thừa. Quan sát các cơ số trong biểu thức, chúng ta có các số: 3, 16, 12, 27. Chúng ta sẽ phân tích chúng thành thừa số nguyên tố:
– Số 3 đã là số nguyên tố rồi, nên giữ nguyên.
– Số 16: Ta có 16 = 2 x 8 = 2 x 2 x 4 = 2 x 2 x 2 x 2 = \(2^4\).
– Số 12: Ta có 12 = 2 x 6 = 2 x 2 x 3 = \(2^2 \cdot 3\).
– Số 27: Ta có 27 = 3 x 9 = 3 x 3 x 3 = \(3^3\).

Bước 2: Thay thế các cơ số trong biểu thức ban đầu bằng dạng phân tích thừa số nguyên tố.
Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế các cơ số trong biểu thức đã cho bằng kết quả phân tích ở Bước 1:
– \(16^3\) sẽ là \((2^4)^3\).
– \(12^5\) sẽ là \((2^2 \cdot 3)^5\).
– \(27^2\) sẽ là \((3^3)^2\).

Biểu thức ban đầu bây giờ trở thành:
\[
\frac{3^7 \cdot (2^4)^3}{(2^2 \cdot 3)^5 \cdot (3^3)^2}
\]

Bước 3: Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa và lũy thừa của một tích.
Chúng ta sẽ áp dụng các quy tắc sau:
– Quy tắc lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\).
– Quy tắc lũy thừa của một tích: \((a \cdot b)^m = a^m \cdot b^m\).

Áp dụng quy tắc cho từng phần của biểu thức:
– \((2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}\).
– \((2^2 \cdot 3)^5 = (2^2)^5 \cdot 3^5 = 2^{2 \cdot 5} \cdot 3^5 = 2^{10} \cdot 3^5\).
– \((3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6\).

Sau khi áp dụng, biểu thức trở thành:
\[
\frac{3^7 \cdot 2^{12}}{(2^{10} \cdot 3^5) \cdot 3^6}
\]

Bước 4: Gom các lũy thừa có cùng cơ số lại.
Ở mẫu số, chúng ta có hai lũy thừa có cùng cơ số là 3. Chúng ta sẽ kết hợp chúng lại.
– \(3^5 \cdot 3^6 = 3^{5+6} = 3^{11}\).

Biểu thức bây giờ là:
\[
\frac{3^7 \cdot 2^{12}}{2^{10} \cdot 3^{11}}
\]

Bước 5: Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số.
Chúng ta sẽ áp dụng quy tắc: Nếu \(a \neq 0\), thì \(a^m : a^n = a^{m-n}\).
Chúng ta sẽ thực hiện phép chia cho từng cặp lũy thừa có cùng cơ số:
– Với cơ số 2: \(2^{12} : 2^{10} = 2^{12-10} = 2^2\).
– Với cơ số 3: \(3^7 : 3^{11} = 3^{7-11} = 3^{-4}\).

Lúc này, biểu thức của chúng ta là:
\[
2^2 \cdot 3^{-4}
\]

Bước 6: Chuyển lũy thừa âm về dạng phân số (nếu cần).
Theo quy ước, \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (với \(a \neq 0\)).
Vậy, \(3^{-4} = \frac{1}{3^4}\).

Biểu thức trở thành:
\[
2^2 \cdot \frac{1}{3^4} = \frac{2^2}{3^4}
\]

Bước 7: Tính giá trị cuối cùng.
Cuối cùng, chúng ta tính giá trị của các lũy thừa còn lại:
– \(2^2 = 2 \cdot 2 = 4\).
– \(3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81\).

Vậy, kết quả cuối cùng của bài toán là:
\[
\frac{4}{81}
\]

Như vậy, chúng ta đã hoàn thành bài tập bằng cách phân tích từng bước, áp dụng các quy tắc về lũy thừa một cách cẩn thận. Các em nhớ ôn lại các quy tắc này để có thể tự tin giải các bài tập tương tự nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi cô.