Chào các em, hôm nay cô trò mình sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán thú vị trong chương trình Toán lớp 8 nhé. Các em chú ý lắng nghe và ghi chép bài đầy đủ.

Bài 1: Cho các số a, b lần lượt thoả mãn các hệ thức sau: \(a^3 -3a^2 +5a-2011=0\) và \(b^3-3b^2 +5b+2005=0\). Hãy tính \(a+b\).

Trước hết, cô trò mình cùng phân tích đề bài. Chúng ta có hai phương trình liên quan đến hai biến a và b, và yêu cầu là tính tổng \(a+b\). Điều này gợi ý chúng ta có thể biến đổi hai phương trình đã cho để có thể cộng vế theo vế hoặc thực hiện phép biến đổi nào đó để xuất hiện \(a+b\).

Quan sát hai phương trình:
Phương trình 1: \(a^3 -3a^2 +5a-2011=0\)
Phương trình 2: \(b^3-3b^2 +5b+2005=0\)

Nhận thấy phần biến của hai phương trình có dạng tương đồng: \(x^3 – 3x^2 + 5x\). Chúng ta sẽ thử thêm bớt các hằng số để tạo ra một biểu thức quen thuộc hơn.

Xét phương trình 1: \(a^3 -3a^2 +5a-2011=0\)
Cô thêm và bớt 1 vào biểu thức trên vế trái:
\(a^3 -3a^2 +5a – 1 – 2010 = 0\)
\( (a^3 – 3a^2 + 3a – 1) + 2a – 2010 = 0 \)
Ta nhận ra phần trong ngoặc là hằng đẳng thức: \( (a-1)^3 \)
Vậy phương trình 1 trở thành: \( (a-1)^3 + 2a – 2010 = 0 \)

Tiếp tục biến đổi:
\( (a-1)^3 + 2(a-1) – 2010 + 2 = 0 \)
\( (a-1)^3 + 2(a-1) – 2008 = 0 \)

Bây giờ, xét phương trình 2: \(b^3-3b^2 +5b+2005=0\)
Cô cũng thêm và bớt 1 vào biểu thức trên vế trái:
\(b^3-3b^2 +5b + 1 + 2004 = 0\)
\( (b^3 – 3b^2 + 3b – 1) + 2b + 2004 = 0 \)
Ta nhận ra phần trong ngoặc là hằng đẳng thức: \( (b-1)^3 \)
Vậy phương trình 2 trở thành: \( (b-1)^3 + 2b + 2004 = 0 \)

Tiếp tục biến đổi:
\( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2004 + 2 = 0 \)
\( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2006 = 0 \)

Hmmm, ở đây cô đã có một chút nhầm lẫn trong phép biến đổi. Cô xin lỗi các em. Chúng ta quay lại bước ban đầu và thử một cách tiếp cận khác.

Xét lại hai phương trình:
(1) \(a^3 -3a^2 +5a-2011=0\)
(2) \(b^3-3b^2 +5b+2005=0\)

Chúng ta thử nhóm các hạng tử lại một cách khéo léo.
Từ (1), ta có: \(a^3 -3a^2 +5a = 2011\)
Từ (2), ta có: \(b^3-3b^2 +5b = -2005\)

Bây giờ, cô sẽ biến đổi sao cho xuất hiện tổng \(a+b\).
Xét biểu thức \(x^3 – 3x^2 + 5x\). Chúng ta có thể nhóm \(x(x^2 – 3x + 5)\).
Tuy nhiên, cách này chưa thấy hiệu quả ngay.

Chúng ta thử cộng vế theo vế hai phương trình ban đầu xem sao:
\( (a^3 -3a^2 +5a-2011) + (b^3-3b^2 +5b+2005) = 0 + 0 \)
\( a^3 + b^3 – 3a^2 – 3b^2 + 5a + 5b – 2011 + 2005 = 0 \)
\( (a^3 + b^3) – 3(a^2 + b^2) + 5(a + b) – 6 = 0 \)

Dùng công thức \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2)\) và \(a^2 + b^2 = (a+b)^2 – 2ab\).
\( (a+b)(a^2 – ab + b^2) – 3((a+b)^2 – 2ab) + 5(a + b) – 6 = 0 \)
\( (a+b)(a^2 – ab + b^2) – 3(a+b)^2 + 6ab + 5(a + b) – 6 = 0 \)

Biểu thức này vẫn còn khá phức tạp và chứa cả tích \(ab\). Có lẽ chúng ta cần một cách tiếp cận khác tinh tế hơn.

Cô xin phép thử một cách biến đổi khác cho hai phương trình ban đầu.
Xét phương trình (1): \(a^3 -3a^2 +5a-2011=0\).
Cô viết lại thành: \(a^3 -3a^2 +3a -1 + 2a – 2010 = 0\)
\( (a-1)^3 + 2a – 2010 = 0 \)
\( (a-1)^3 + 2(a-1) – 2008 = 0 \) (Cô đã làm đúng ở lần thử đầu!)

Xét phương trình (2): \(b^3-3b^2 +5b+2005=0\).
Cô viết lại thành: \(b^3-3b^2 +3b -1 + 2b + 2006 = 0\)
\( (b-1)^3 + 2b + 2006 = 0 \)
\( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2006 + 2 = 0 \)
\( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2008 = 0 \)

Bây giờ, chúng ta có hai phương trình mới:
(1′) \( (a-1)^3 + 2(a-1) – 2008 = 0 \)
(2′) \( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2008 = 0 \)

Đặt \(x = a-1\) và \(y = b-1\).
Khi đó, phương trình (1′) trở thành: \(x^3 + 2x – 2008 = 0\)
Và phương trình (2′) trở thành: \(y^3 + 2y + 2008 = 0\)

Cô xin lỗi, ở đây cô lại có một chút sai sót trong việc chuyển vế.
Từ (2′): \( (b-1)^3 + 2(b-1) + 2008 = 0 \)
Đặt \(y = b-1\), ta có: \(y^3 + 2y + 2008 = 0\).

Chúng ta thấy rằng, nếu \(f(t) = t^3 + 2t\), thì phương trình (1) trở thành \(f(a-1) – 2008 = 0\) và phương trình (2) có dạng \(f(b-1) + 2008 = 0\).

Nhìn vào hai phương trình mới:
\(x^3 + 2x = 2008\)
\(y^3 + 2y = -2008\)

Nếu chúng ta cộng hai phương trình này lại:
\( (x^3 + 2x) + (y^3 + 2y) = 2008 + (-2008) \)
\( x^3 + y^3 + 2x + 2y = 0 \)
\( x^3 + y^3 + 2(x+y) = 0 \)

Chúng ta có \(x = a-1\) và \(y = b-1\).
Vậy \(x+y = (a-1) + (b-1) = a+b-2\).

Thay vào phương trình trên:
\( (a-1)^3 + (b-1)^3 + 2(a+b-2) = 0 \)

Đây vẫn chưa trực tiếp cho ta \(a+b\).

Quay lại hai phương trình:
\(x^3 + 2x = 2008\)
\(y^3 + 2y = -2008\)

Ta nhận thấy rằng, nếu ta thay \(y\) bằng \(-x\), thì:
\( (-x)^3 + 2(-x) = -x^3 – 2x = -(x^3 + 2x) \)
Điều này có nghĩa là nếu \(x^3 + 2x = 2008\), thì \( (-x)^3 + 2(-x) = -2008 \).

So sánh với hai phương trình ta có:
\(x^3 + 2x = 2008\)
\(y^3 + 2y = -2008\)

Ta suy ra ngay rằng \(y = -x\).

Mà \(x = a-1\) và \(y = b-1\).
Do đó, \(b-1 = -(a-1)\).
\( b-1 = -a+1 \)
\( b+a = 1+1 \)
\( a+b = 2 \)

Vậy kết quả của bài toán là \(a+b = 2\).

Bài 2: Giải phương trình: \( (2x+3).(x+2)^2 .(2x+5)=3 \)

Bước 1: Phân tích phương trình và tìm cách nhóm các thừa số.
Phương trình có dạng \( (2x+3).(x+2)^2 .(2x+5)=3 \)
Chúng ta có các thừa số là \(2x+3\), \((x+2)^2\), và \(2x+5\).
Nhận thấy \(2x+3\) và \(2x+5\) có hiệu là \( (2x+5) – (2x+3) = 2 \).
Tích của chúng là \( (2x+3)(2x+5) = (2x)^2 + (3+5)(2x) + 3 \times 5 = 4x^2 + 16x + 15 \).

Tiếp theo, ta khai triển \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \).

Bây giờ, phương trình trở thành: \( (4x^2 + 16x + 15) (x^2 + 4x + 4) = 3 \)

Bước 2: Đặt biến phụ để đưa phương trình về dạng đơn giản hơn.
Quan sát hai biểu thức \(4x^2 + 16x + 15\) và \(x^2 + 4x + 4\).
Ta nhận thấy \(4x^2 + 16x + 15 = 4(x^2 + 4x) + 15\).
Và \(x^2 + 4x + 4 = (x^2 + 4x) + 4\).

Điều này gợi ý ta đặt \(t = x^2 + 4x\).
Khi đó, phương trình trở thành:
\( (4t + 15)(t + 4) = 3 \)

Bước 3: Giải phương trình theo biến phụ.
Khai triển phương trình theo \(t\):
\( 4t(t+4) + 15(t+4) = 3 \)
\( 4t^2 + 16t + 15t + 60 = 3 \)
\( 4t^2 + 31t + 60 – 3 = 0 \)
\( 4t^2 + 31t + 57 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo \(t\). Ta có thể giải bằng cách tính delta hoặc phân tích thành nhân tử.
Tính delta: \( \Delta = b^2 – 4ac = 31^2 – 4 \times 4 \times 57 \)
\( \Delta = 961 – 16 \times 57 \)
\( \Delta = 961 – 912 \)
\( \Delta = 49 \)

Vì \( \Delta > 0 \), phương trình có hai nghiệm phân biệt:
\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-31 + \sqrt{49}}{2 \times 4} = \frac{-31 + 7}{8} = \frac{-24}{8} = -3 \)
\( t_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-31 – \sqrt{49}}{2 \times 4} = \frac{-31 – 7}{8} = \frac{-38}{8} = -\frac{19}{4} \)

Bước 4: Thay biến phụ trở lại để tìm nghiệm theo \(x\).
Trường hợp 1: \( t = -3 \)
Ta có \( x^2 + 4x = -3 \)
\( x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Đây là một phương trình bậc hai theo \(x\). Ta có thể phân tích thành nhân tử:
\( (x+1)(x+3) = 0 \)
Suy ra \( x+1 = 0 \) hoặc \( x+3 = 0 \).
Vậy \( x = -1 \) hoặc \( x = -3 \).

Trường hợp 2: \( t = -\frac{19}{4} \)
Ta có \( x^2 + 4x = -\frac{19}{4} \)
Nhân cả hai vế với 4 để khử mẫu:
\( 4x^2 + 16x = -19 \)
\( 4x^2 + 16x + 19 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo \(x\). Ta tính delta:
\( \Delta’ = b^2 – 4ac = 16^2 – 4 \times 4 \times 19 \)
\( \Delta’ = 256 – 16 \times 19 \)
\( \Delta’ = 256 – 304 \)
\( \Delta’ = -48 \)

Vì \( \Delta’ < 0 \), phương trình này vô nghiệm trong tập số thực. Bước 5: Kết luận nghiệm của phương trình. Các nghiệm tìm được là \( x = -1 \) và \( x = -3 \). Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là \( x = -1 \) và \( x = -3 \). Các em về nhà ôn tập kỹ các bước giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ nhé. Buổi học của chúng ta hôm nay đến đây là kết thúc.