BÀI TOÁN B1:

Đây là một bài toán về xác suất trong một cuộc thi đấu mà người thắng cuộc là người đạt được số ván thắng trước. Chúng ta sẽ phân tích từng bước để tìm ra lời giải.

Bước 1: Xác định tình huống và các giả định cần thiết.
Cuộc thi cờ tướng có hai người chơi ngang tài ngang sức. Điều này có nghĩa là xác suất thắng mỗi ván của mỗi người chơi là như nhau, tức là 0.5.
Người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván, người thứ hai đã thắng 2 ván.
Cuộc thi kết thúc khi một trong hai người đạt được số ván thắng quy định (ở đây đề bài chưa nói rõ số ván thắng cần thiết để vô địch là bao nhiêu, nhưng thông thường trong các bài toán kiểu này, ta hiểu là người chơi nào đạt đủ số ván thắng trước thì người đó thắng chung cuộc. Tuy nhiên, với thông tin đã cho, chúng ta sẽ giả định rằng cuộc thi sẽ kết thúc khi một người đạt đủ số ván thắng và người chơi thứ nhất cần thắng thêm một số ván nữa để đạt đến một mốc nào đó. Để giải bài toán này một cách có ý nghĩa, chúng ta sẽ giả định rằng người chơi thứ nhất cần thắng tổng cộng 5 ván để vô địch (vì người này đã thắng 4 ván rồi, cần thêm 1 ván nữa là đủ). Tương tự, nếu người chơi thứ hai cần thắng 5 ván thì đến giờ người này mới thắng 2 ván, còn thiếu 3 ván. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả định người chơi thứ nhất thắng khi đạt 5 ván thắng, thì người thứ nhất chỉ cần thắng 1 ván nữa là đủ. Nếu người thứ hai thắng khi đạt 5 ván thắng, thì người thứ hai còn thiếu 3 ván. Như vậy, khả năng người chơi thứ nhất thắng là rất cao. Để bài toán có tính toán xác suất hợp lý hơn, chúng ta sẽ giả định rằng cuộc thi sẽ kết thúc khi một người đạt được 5 ván thắng.

Với giả định này, người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván, còn thiếu 1 ván để vô địch.
Người chơi thứ hai đã thắng 2 ván, còn thiếu 3 ván để vô địch.

Bước 2: Xác định các kịch bản có thể xảy ra để người chơi thứ nhất giành chiến thắng.
Người chơi thứ nhất sẽ vô địch nếu họ thắng ván tiếp theo.
Trong trường hợp này, với việc người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván, họ chỉ cần thắng thêm 1 ván nữa là đủ 5 ván và giành chức vô địch, bất kể người chơi thứ hai có thắng thêm bao nhiêu ván đi chăng nữa (miễn là người chơi thứ hai chưa đạt 5 ván thắng trước).

Bước 3: Tính xác suất của từng kịch bản.
Do hai người chơi ngang tài ngang sức, xác suất thắng một ván của người chơi thứ nhất là \(p = 0.5\), và xác suất thua (tức là người chơi thứ hai thắng) là \(q = 1 – p = 0.5\).

Kịch bản duy nhất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng ngay lập tức là người chơi thứ nhất thắng ván cờ tiếp theo.
Xác suất để người chơi thứ nhất thắng ván tiếp theo là \(P(\text{người thứ nhất thắng ván tiếp})\) = \(p = 0.5\).

Bước 4: Tổng hợp xác suất để tìm ra kết quả cuối cùng.
Với giả định rằng cuộc thi kết thúc khi có người đạt 5 ván thắng, và người chơi thứ nhất đã có 4 ván thắng, họ chỉ cần thắng 1 ván nữa là đủ.
Xác suất để người chơi thứ nhất thắng ván tiếp theo là 0.5.
Do đó, xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng là 0.5.

Lưu ý: Nếu đề bài có ý nghĩa khác về việc “người đầu tiên đạt ván cờ” mà không chỉ rõ số ván thắng cần thiết, bài toán sẽ phức tạp hơn. Tuy nhiên, với thông tin “người thứ nhất đã thắng 4 ván, người thứ 2 mới thắng đc 2 ván”, việc giả định người thứ nhất cần thắng thêm 1 ván nữa để vô địch là cách giải phổ biến cho dạng bài này.

—

BÀI TOÁN B2:

Chúng ta sẽ phân tích bài toán này dựa trên kiến thức về tổ hợp và xác suất.

Bước 1: Xác định tập hợp các thẻ và các điều kiện.
Tổng số thẻ là 30.
Bạn A được chọn ngẫu nhiên 10 thẻ.
Chúng ta cần tính xác suất để trong 10 thẻ được chọn có:
– 5 thẻ mang số lẻ.
– 5 thẻ mang số chẵn.
– Trong 10 thẻ đó, chỉ có đúng 1 thẻ mang số chia hết cho 10.

Bước 2: Phân loại các thẻ trong 30 thẻ ban đầu.
Từ 1 đến 30, chúng ta có:
– Số lẻ: 1, 3, 5, …, 29. Có \((29 – 1) / 2 + 1 = 15\) thẻ số lẻ.
– Số chẵn: 2, 4, 6, …, 30. Có \((30 – 2) / 2 + 1 = 15\) thẻ số chẵn.
– Số chia hết cho 10: 10, 20, 30. Có 3 thẻ.
– Số chẵn không chia hết cho 10: Các số chẵn trừ đi các số chia hết cho 10. Ta có 15 thẻ chẵn, trừ 3 thẻ chia hết cho 10, còn lại 12 thẻ chẵn không chia hết cho 10.
– Số lẻ không chia hết cho 10: Tất cả 15 thẻ số lẻ đều không chia hết cho 10.

Tóm lại:
– 15 thẻ số lẻ (tất cả đều không chia hết cho 10).
– 12 thẻ số chẵn không chia hết cho 10.
– 3 thẻ số chẵn chia hết cho 10 (là 10, 20, 30).

Bước 3: Tính tổng số cách chọn 10 thẻ từ 30 thẻ.
Đây là bài toán chọn tổ hợp. Số cách chọn 10 thẻ từ 30 thẻ là:
\( \binom{30}{10} = \frac{30!}{10!(30-10)!} = \frac{30!}{10!20!} \)

Bước 4: Tính số cách chọn 10 thẻ thỏa mãn các điều kiện.
Chúng ta cần chọn 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn, trong đó có đúng 1 thẻ chia hết cho 10.

Để thỏa mãn điều kiện “có đúng 1 thẻ mang số chia hết cho 10”, chúng ta có hai trường hợp nhỏ:

Trường hợp 1: Thẻ chia hết cho 10 là một thẻ lẻ.
Tuy nhiên, không có thẻ lẻ nào chia hết cho 10 trong tập hợp từ 1 đến 30. Do đó, trường hợp này không thể xảy ra.

Trường hợp 2: Thẻ chia hết cho 10 là một thẻ chẵn.
Điều này có nghĩa là trong 10 thẻ được chọn, phải có đúng 1 trong 3 thẻ (10, 20, 30) và thẻ này phải là thẻ chẵn.

Để có 5 thẻ lẻ và 5 thẻ chẵn, với 1 thẻ chẵn là số chia hết cho 10:
– Chọn 1 thẻ chẵn chia hết cho 10: Có \(\binom{3}{1}\) cách.
– Chọn 4 thẻ chẵn còn lại (không chia hết cho 10): Chúng ta cần 5 thẻ chẵn trong tổng số 10 thẻ, và 1 trong số đó đã là số chia hết cho 10. Vậy chúng ta cần thêm 4 thẻ chẵn nữa. Những thẻ chẵn này phải là những thẻ chẵn không chia hết cho 10. Có 12 thẻ chẵn không chia hết cho 10. Vậy số cách chọn là \(\binom{12}{4}\).
– Chọn 5 thẻ lẻ: Có 15 thẻ lẻ, và tất cả đều không chia hết cho 10. Vậy số cách chọn là \(\binom{15}{5}\).

Số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là:
\( N(\text{thoả mãn}) = \binom{3}{1} \times \binom{12}{4} \times \binom{15}{5} \)

Bước 5: Tính xác suất.
Xác suất là tỉ số giữa số cách chọn thỏa mãn và tổng số cách chọn:
\( P = \frac{N(\text{thoả mãn})}{N(\text{tổng})} = \frac{\binom{3}{1} \times \binom{12}{4} \times \binom{15}{5}}{\binom{30}{10}} \)

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị cụ thể:
\( \binom{3}{1} = 3 \)
\( \binom{12}{4} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495 \)
\( \binom{15}{5} = \frac{15!}{5!10!} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003 \)
\( \binom{30}{10} = \frac{30!}{10!20!} = 30045015 \)

\( N(\text{thoả mãn}) = 3 \times 495 \times 3003 = 4459435 \)

\( P = \frac{4459435}{30045015} \)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này. Chia cả tử và mẫu cho 5:
\( P = \frac{891887}{6009003} \)

Để kiểm tra xem còn rút gọn được nữa không, ta có thể thử chia cho các ước số chung nhỏ.
Tuy nhiên, với dạng bài này, việc để phân số dưới dạng này hoặc làm tròn số thập phân thường được chấp nhận.

Nếu muốn làm tròn:
\( P \approx 0.1484 \)

Vậy, xác suất để trong 10 thẻ được chọn có 5 thẻ lẻ, 5 thẻ chẵn và chỉ có 1 thẻ mang số chia hết cho 10 là \( \frac{4459435}{30045015} \).

Chúc các em học tốt!