Chào các em học sinh lớp 6 thân mến! Hôm nay, cô rất vui được đồng hành cùng các em giải một bài tập thú vị về lũy thừa. Chúng ta sẽ cùng nhau chứng minh rằng tổng B, được tạo thành từ các lũy thừa của 3, sẽ chia hết cho 2.

Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng:
B = 3¹ + 3² + 3³ + …. + 3¹⁰⁰ chia hết cho 2.

Để chứng minh một số chia hết cho 2, chúng ta cần xem xét xem số đó là chẵn hay lẻ. Một số chẵn là số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. Một số lẻ là số có chữ số tận cùng là 1, 3, 5, 7, 9.

Bây giờ, chúng ta hãy cùng phân tích từng số hạng trong tổng B:
Số hạng đầu tiên là 3¹ = 3. Đây là một số lẻ.
Số hạng thứ hai là 3² = 3 x 3 = 9. Đây là một số lẻ.
Số hạng thứ ba là 3³ = 3 x 3 x 3 = 27. Đây là một số lẻ.

Các em hãy quan sát quy luật ở đây. Khi chúng ta nhân một số lẻ với chính nó, kết quả luôn là một số lẻ.
Ví dụ: 3 x 3 = 9 (lẻ)
5 x 5 = 25 (lẻ)
7 x 3 = 21 (lẻ)

Vậy, mọi lũy thừa của 3 (3¹, 3², 3³, …, 3¹⁰⁰) đều là những số lẻ.

Bây giờ, chúng ta xem xét tổng B. Tổng B được tạo thành từ việc cộng các số lẻ lại với nhau.
Chúng ta có bao nhiêu số hạng trong tổng B? Từ 3¹ đến 3¹⁰⁰, có tất cả 100 số hạng.

Chúng ta hãy xem xét phép cộng giữa hai số lẻ:
Số lẻ + Số lẻ = Số chẵn
Ví dụ: 3 + 5 = 8 (chẵn)
9 + 1 = 10 (chẵn)

Bây giờ, chúng ta hãy nhóm các số hạng trong B lại thành từng cặp:
B = (3¹ + 3²) + (3³ + 3⁴) + …. + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

Mỗi cặp trong dấu ngoặc đơn đều là tổng của hai số lẻ (vì 3ⁿ luôn là số lẻ với mọi n là số tự nhiên).
Do đó, mỗi cặp này sẽ có kết quả là một số chẵn.

Cụ thể, ví dụ với vài cặp đầu tiên:
3¹ + 3² = 3 + 9 = 12 (chẵn)
3³ + 3⁴ = 27 + 81 = 108 (chẵn)

Vì chúng ta có 100 số hạng, nên chúng ta sẽ có 100 / 2 = 50 cặp như vậy.
Vậy, tổng B sẽ là tổng của 50 số chẵn.

Tổng của các số chẵn thì luôn là một số chẵn.
Số chẵn + Số chẵn = Số chẵn
Ví dụ: 12 + 108 = 120 (chẵn)

Do đó, tổng B là một số chẵn. Một số chẵn thì luôn chia hết cho 2.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng B chia hết cho 2.

Để trình bày bài giải một cách gọn gàng hơn, chúng ta có thể nhóm các số hạng như sau:
B = 3¹ + 3² + 3³ + …. + 3¹⁰⁰
B = (3¹ + 3²) + (3³ + 3⁴) + …. + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)

Ta có: 3¹ = 3 (lẻ)
3² = 9 (lẻ)
3ⁿ với n là số tự nhiên luôn là số lẻ.

Trong mỗi cặp:
3^k + 3^k+1 = 3^k (1 + 3) = 3^k 4
Vì 4 chia hết cho 2, nên 3^k * 4 cũng chia hết cho 2.
Do đó, mỗi cặp (3^k + 3^k+1) là một số chẵn.

Tổng B có 100 số hạng, nên ta có thể nhóm thành 50 cặp.
B = (3¹ + 3²) + (3³ + 3⁴) + …. + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)
Mỗi dấu ngoặc đơn là một số chẵn.
Vậy B là tổng của 50 số chẵn.
Tổng của các số chẵn là một số chẵn.
Do đó, B là một số chẵn.
Vậy B chia hết cho 2.

Một cách trình bày khác, sử dụng tính chất chia hết trực tiếp:
Ta có B = 3¹ + 3² + 3³ + …. + 3¹⁰⁰
Ta nhóm các số hạng thành từng cặp:
B = (3¹ + 3²) + (3³ + 3⁴) + …. + (3⁹⁹ + 3¹⁰⁰)
Xét từng cặp:
3¹ + 3² = 3 (1 + 3) = 3 4 = 12. Ta thấy 12 chia hết cho 2.
3³ + 3⁴ = 3³ (1 + 3) = 3³ 4. Vì 4 chia hết cho 2, nên 3³ * 4 chia hết cho 2.
Tổng quát, với mỗi cặp có dạng 3^2k-1 + 3^2k (với k chạy từ 1 đến 50):
3^2k-1 + 3^2k = 3^2k-1 (1 + 3) = 3^2k-1 4
Vì 4 chia hết cho 2, nên 3^2k-1 * 4 chia hết cho 2.

Do B là tổng của 50 số đều chia hết cho 2, nên B chia hết cho 2.

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng B chia hết cho 2. Các em có câu hỏi nào không?