Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô và các em sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán rút gọn biểu thức rất thú vị, sử dụng các kiến thức về lũy thừa mà chúng ta đã học nhé. Các em hãy chuẩn bị tinh thần để cùng cô khám phá từng bước giải thật cẩn thận nào!

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Phân tích các cơ số về dạng thừa số nguyên tố: Chuyển tất cả các cơ số không phải số nguyên tố (như 4, 10, 25) về dạng lũy thừa của các số nguyên tố (2, 5).
2. Áp dụng các quy tắc về lũy thừa: Nhân hai lũy thừa cùng cơ số, chia hai lũy thừa cùng cơ số, lũy thừa của một lũy thừa.
3. Đặt thừa số chung: Tìm các thừa số chung trong từng tổng ở tử số và mẫu số để nhóm lại.
4. Rút gọn biểu thức: Thực hiện phép chia giữa tử số và mẫu số.

Bây giờ, chúng ta cùng bắt tay vào giải bài toán nhé!

Biểu thức của chúng ta là:

\[B = \frac{4^5 \cdot 10 \cdot 5^6 + 25^5 \cdot 2^8}{2^8 \cdot 5^4 + 5^7 \cdot 2^5}\]

Bước 1: Rút gọn Tử số

Tử số là: \(4^5 \cdot 10 \cdot 5^6 + 25^5 \cdot 2^8\)

Chúng ta sẽ phân tích các cơ số không phải số nguyên tố (4, 10, 25) về dạng lũy thừa của các thừa số nguyên tố (2 và 5).

• Ta có: \(4 = 2^2\).
  
  Vậy, \(4^5 = (2^2)^5\).
  
  (Lý do: Chúng ta sử dụng công thức “lũy thừa của một lũy thừa”: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\). Điều này giúp chúng ta đưa về cơ số 2.)
  
  \[4^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}\]
• Ta có: \(10 = 2 \cdot 5\).
  
  (Lý do: Phân tích số 10 thành các thừa số nguyên tố để dễ dàng kết hợp với các lũy thừa khác.)
• Ta có: \(25 = 5^2\).
  
  Vậy, \(25^5 = (5^2)^5\).
  
  (Lý do: Tương tự như trên, áp dụng công thức \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) để đưa về cơ số 5.)
  
  \[25^5 = 5^{2 \cdot 5} = 5^{10}\]

Thay thế vào biểu thức tử số, ta được:

Tử số = \(2^{10} \cdot (2 \cdot 5) \cdot 5^6 + 5^{10} \cdot 2^8\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm các lũy thừa có cùng cơ số lại với nhau.

Tử số = \(2^{10} \cdot 2^1 \cdot 5^1 \cdot 5^6 + 5^{10} \cdot 2^8\)

(Lý do: Chúng ta sử dụng công thức “nhân hai lũy thừa cùng cơ số”: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Điều này giúp rút gọn biểu thức.)

Tử số = \(2^{10+1} \cdot 5^{1+6} + 5^{10} \cdot 2^8\)

Tử số = \(2^{11} \cdot 5^7 + 5^{10} \cdot 2^8\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm thừa số chung để đặt ra ngoài dấu ngoặc.

Trong hai hạng tử \(2^{11} \cdot 5^7\) và \(5^{10} \cdot 2^8\), chúng ta thấy:

• Thừa số chung của cơ số 2 là \(2^8\) (vì \(2^{11} = 2^8 \cdot 2^3\)).
• Thừa số chung của cơ số 5 là \(5^7\) (vì \(5^{10} = 5^7 \cdot 5^3\)).

Đặt \(2^8 \cdot 5^7\) làm thừa số chung:

Tử số = \(2^8 \cdot 2^3 \cdot 5^7 + 5^7 \cdot 5^3 \cdot 2^8\)

Tử số = \(2^8 \cdot 5^7 \cdot (2^3 + 5^3)\)

(Lý do: Đây là phép đặt thừa số chung, giúp chúng ta đơn giản hóa biểu thức để có thể rút gọn với mẫu số.)

Tính giá trị trong ngoặc:

\[2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\]

\[5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\]

Vậy:

Tử số = \(2^8 \cdot 5^7 \cdot (8 + 125)\)

Tử số = \(2^8 \cdot 5^7 \cdot 133\)

Bước 2: Rút gọn Mẫu số

Mẫu số là: \(2^8 \cdot 5^4 + 5^7 \cdot 2^5\)

Các cơ số đã là số nguyên tố rồi, chúng ta chỉ cần tìm thừa số chung để đặt ra ngoài dấu ngoặc.

Trong hai hạng tử \(2^8 \cdot 5^4\) và \(5^7 \cdot 2^5\), chúng ta thấy:

• Thừa số chung của cơ số 2 là \(2^5\) (vì \(2^8 = 2^5 \cdot 2^3\)).
• Thừa số chung của cơ số 5 là \(5^4\) (vì \(5^7 = 5^4 \cdot 5^3\)).

Đặt \(2^5 \cdot 5^4\) làm thừa số chung:

Mẫu số = \(2^5 \cdot 2^3 \cdot 5^4 + 5^4 \cdot 5^3 \cdot 2^5\)

Mẫu số = \(2^5 \cdot 5^4 \cdot (2^3 + 5^3)\)

(Lý do: Tương tự như tử số, đây là phép đặt thừa số chung.)

Tính giá trị trong ngoặc:

\[2^3 = 8\]

\[5^3 = 125\]

Vậy:

Mẫu số = \(2^5 \cdot 5^4 \cdot (8 + 125)\)

Mẫu số = \(2^5 \cdot 5^4 \cdot 133\)

Bước 3: Thay thế Tử số và Mẫu số đã rút gọn vào biểu thức B và tính toán

Bây giờ chúng ta đã có tử số và mẫu số được rút gọn, thay thế chúng vào biểu thức B:

\[B = \frac{2^8 \cdot 5^7 \cdot 133}{2^5 \cdot 5^4 \cdot 133}\]

Chúng ta thấy cả tử số và mẫu số đều có thừa số 133, vậy chúng ta có thể rút gọn nó.

(Lý do: Bất kỳ số nào chia cho chính nó (khác 0) đều bằng 1. Điều này giúp đơn giản hóa biểu thức.)

\[B = \frac{2^8 \cdot 5^7}{2^5 \cdot 5^4}\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ chia các lũy thừa cùng cơ số.

(Lý do: Chúng ta sử dụng công thức “chia hai lũy thừa cùng cơ số”: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\). Điều này giúp rút gọn biểu thức.)

\[B = 2^{8-5} \cdot 5^{7-4}\]

\[B = 2^3 \cdot 5^3\]

Bây giờ, chúng ta thấy hai lũy thừa này có cùng số mũ. Chúng ta có thể nhóm chúng lại.

(Lý do: Chúng ta sử dụng công thức “nhân hai lũy thừa cùng số mũ”: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\). Điều này giúp tính toán dễ dàng hơn.)

\[B = (2 \cdot 5)^3\]

\[B = 10^3\]

Cuối cùng, tính giá trị của \(10^3\):

\[10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000\]

Vậy, giá trị của biểu thức B là:

\[B = 1000\]

Các em thấy không, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách áp dụng đúng các quy tắc về lũy thừa và thực hiện từng bước cẩn thận thì kết quả sẽ rất gọn gàng và đẹp đẽ! Cô hy vọng bài giải này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách làm bài tập dạng này nhé!