Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô trò chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về tổng các lũy thừa nhé. Đây là dạng bài mà các em đã được làm quen trong chương trình Toán lớp 6 của mình rồi đấy. Chúng ta cùng bắt đầu nào!

Đề bài: (Cô không chép lại đề bài nữa, chúng ta đã có đề trong đầu rồi!)

Lời giải chi tiết:

Cô có biểu thức B là tổng của các lũy thừa sau:

\[B = 4 + 4^3 + 4^5 + \dots + 4^{99}\]

Bước 1: Nhận xét về cấu trúc của biểu thức B

Các em hãy quan sát thật kỹ các số mũ trong biểu thức B: \(1, 3, 5, \dots, 99\). Chúng ta thấy rằng đây đều là các số lẻ và chúng cách đều nhau 2 đơn vị. Điều này rất quan trọng, nó gợi ý cho chúng ta một phương pháp giải quen thuộc khi tính tổng các dãy số có quy luật như thế này.

Để làm mất bớt các số hạng khi trừ đi, chúng ta sẽ nhân biểu thức B với một lũy thừa của 4 sao cho các số mũ của B tăng lên một cách “phù hợp”.

Cụ thể, nếu ta lấy một số hạng bất kì như \(4^3\) chia cho số hạng đứng ngay trước nó là \(4^1\) (hoặc chỉ là \(4\)), ta được \(4^3 : 4 = 4^{3-1} = 4^2\). Tương tự, \(4^5 : 4^3 = 4^{5-3} = 4^2\). Vậy, tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp là \(4^2\), tức là \(16\). Do đó, để các số hạng “dịch chuyển” và triệt tiêu nhau khi trừ, ta sẽ nhân biểu thức B với \(4^2\), tức là \(16\).

Bước 2: Nhân biểu thức B với \(4^2\) (tức là 16)

Chúng ta nhân cả hai vế của biểu thức B với \(16\):

\[16B = 16 \times (4 + 4^3 + 4^5 + \dots + 4^{99})\]

Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng (nhân một số với một tổng):

\[16B = 16 \times 4 + 16 \times 4^3 + 16 \times 4^5 + \dots + 16 \times 4^{99}\]

Vì \(16 = 4^2\), nên ta có thể viết lại như sau:

\[16B = 4^2 \times 4^1 + 4^2 \times 4^3 + 4^2 \times 4^5 + \dots + 4^2 \times 4^{99}\]

Sử dụng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số mà các em đã học (\(a^m \times a^n = a^{m+n}\)):

\[16B = 4^{2+1} + 4^{2+3} + 4^{2+5} + \dots + 4^{2+99}\]

Vậy, ta được biểu thức \(16B\) mới:

\[16B = 4^3 + 4^5 + 4^7 + \dots + 4^{101}\]

Bước 3: Lấy biểu thức \(16B\) trừ đi biểu thức \(B\) ban đầu

Bây giờ, chúng ta sẽ lấy biểu thức \(16B\) vừa tìm được trừ đi biểu thức \(B\) ban đầu. Các em hãy để ý xem có điều gì đặc biệt xảy ra nhé!

\[16B – B = (4^3 + 4^5 + 4^7 + \dots + 4^{99} + 4^{101}) – (4 + 4^3 + 4^5 + \dots + 4^{99})\]

Để dễ nhìn, cô sẽ viết lại phép trừ và nhóm các số hạng tương ứng lại:

\[16B – B = (4^3 – 4^3) + (4^5 – 4^5) + \dots + (4^{99} – 4^{99}) + 4^{101} – 4\]

Các em có thấy không? Rất nhiều số hạng giống nhau sẽ bị triệt tiêu! Cụ thể, các số hạng \(4^3, 4^5, 4^7, \dots, 4^{99}\) đều có mặt ở cả hai biểu thức (ở \(16B\) và \(B\)). Khi trừ đi, chúng sẽ biến mất (bằng 0).

Vậy, phép trừ chỉ còn lại:

\[16B – B = 4^{101} – 4\]

Bước 4: Rút gọn và tìm giá trị của B

Ở vế trái, \(16B – B\) chính là \(15B\) (vì \(16B – 1B = (16-1)B = 15B\)).

Vậy, ta có phương trình:

\[15B = 4^{101} – 4\]

Để tìm \(B\), chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho \(15\):

\[B = \frac{4^{101} – 4}{15}\]

Đây chính là giá trị của biểu thức B mà đề bài yêu cầu chúng ta tìm.

Kết luận:

Vậy, tổng của biểu thức \(B = 4 + 4^3 + 4^5 + \dots + 4^{99}\) là:

\[B = \frac{4^{101} – 4}{15}\]

Cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững hơn cách giải các bài toán dạng tổng các lũy thừa nhé! Hãy chăm chỉ luyện tập để thành thạo hơn nữa! Chúc các em học tốt!