Chào các em học sinh yêu quý! Cô rất vui khi được đồng hành cùng các em giải bài toán thú vị này. Đây là một dạng bài rất hay, vận dụng kiến thức về tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau mà chúng ta đã học ở lớp 7. Cô tin rằng, nếu nắm vững các bước, các em sẽ thấy bài toán này thật đơn giản thôi!

Chúng ta hãy cùng nhau “phá đảo” bài toán này nhé!

Phân tích đề bài và Kế hoạch giải:

Đề bài cho biết tổng số thóc 3 máy xay được là 359 tấn. Đồng thời, cho các tỉ lệ về số ngày làm việc, số giờ làm việc và công suất của từng máy A, B, C.
Yêu cầu chúng ta tìm xem mỗi máy xay được bao nhiêu tấn thóc.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần nhớ rằng:
Lượng thóc (tức là tổng công việc) mà mỗi máy xay được sẽ tỉ lệ thuận với công suất của máy, số giờ làm việc mỗi ngày và số ngày làm việc của máy đó.

Nói cách khác, nếu gọi \(T\) là lượng thóc xay được, \(P\) là công suất, \(H\) là số giờ làm việc mỗi ngày, và \(N\) là số ngày làm việc, thì:
\[T = P \cdot H \cdot N\]
(Chúng ta có thể hiểu là \(T\) tỉ lệ thuận với tích \(P \cdot H \cdot N\)).

Vậy, các bước giải của chúng ta sẽ là:

1. Đặt các biến đại diện cho lượng thóc của mỗi máy.
2. Viết các tỉ lệ thức cho số ngày làm việc, số giờ làm việc và công suất. Đặc biệt lưu ý tỉ lệ nghịch của công suất.
3. Thiết lập tỉ lệ thức cho lượng thóc xay được của mỗi máy.
4. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm lượng thóc cụ thể của từng máy.

Bắt đầu thôi nào!

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt biến và xác định tổng số thóc.

Gọi \(T_A, T_B, T_C\) lần lượt là số tấn thóc mà máy A, máy B và máy C xay được.
Theo đề bài, tổng số thóc mà ba máy xay được là 359 tấn, nên ta có:
\[T_A + T_B + T_C = 359\]

Bước 2: Xác định các tỉ lệ thức đã cho.

* Về số ngày làm việc:
Số ngày làm việc của các máy A, B, C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5.
Nếu gọi \(N_A, N_B, N_C\) là số ngày làm việc của máy A, B, C, ta có:
\[\frac{N_A}{3} = \frac{N_B}{4} = \frac{N_C}{5}\]

* Về số giờ làm việc mỗi ngày:
Số giờ làm việc của các máy A, B, C lần lượt tỉ lệ với 6, 7, 8.
Nếu gọi \(H_A, H_B, H_C\) là số giờ làm việc mỗi ngày của máy A, B, C, ta có:
\[\frac{H_A}{6} = \frac{H_B}{7} = \frac{H_C}{8}\]

* Về công suất:
Công suất của các máy A, B, C lần lượt tỉ lệ nghịch với 5, 4, 3.
Khi nói tỉ lệ nghịch với 5, 4, 3, có nghĩa là công suất của chúng tỉ lệ thuận với các số nghịch đảo của 5, 4, 3.
Nếu gọi \(P_A, P_B, P_C\) là công suất của máy A, B, C, ta có:
\[P_A : P_B : P_C = \frac{1}{5} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}\]
Để dễ tính toán hơn, chúng ta sẽ “quy đồng mẫu số” cho các tỉ số này. Bội chung nhỏ nhất của 5, 4, 3 là 60.
Ta nhân tất cả các tỉ số với 60:
\(P_A : P_B : P_C = \left(\frac{1}{5} \cdot 60\right) : \left(\frac{1}{4} \cdot 60\right) : \left(\frac{1}{3} \cdot 60\right)\)
\[P_A : P_B : P_C = 12 : 15 : 20\]
Vậy, ta có tỉ lệ thức:
\[\frac{P_A}{12} = \frac{P_B}{15} = \frac{P_C}{20}\]

Bước 3: Thiết lập tỉ lệ thức cho lượng thóc xay được của mỗi máy.

Như cô đã phân tích ở trên, lượng thóc mà mỗi máy xay được tỉ lệ thuận với tích của công suất, số giờ làm việc mỗi ngày và số ngày làm việc.
Tức là: \(T_A \propto P_A \cdot H_A \cdot N_A\); \(T_B \propto P_B \cdot H_B \cdot N_B\); \(T_C \propto P_C \cdot H_C \cdot N_C\).

Từ đó, ta có tỉ lệ về lượng thóc xay được của ba máy như sau:
\(T_A : T_B : T_C = (P_A \cdot H_A \cdot N_A) : (P_B \cdot H_B \cdot N_B) : (P_C \cdot H_C \cdot N_C)\)

Bây giờ, chúng ta thay các tỉ lệ số tương ứng vào:
\(T_A : T_B : T_C = (12 \cdot 6 \cdot 3) : (15 \cdot 7 \cdot 4) : (20 \cdot 8 \cdot 5)\)
Thực hiện phép nhân trong từng ngoặc:
\(T_A : T_B : T_C = 216 : 420 : 800\)

Để các số tỉ lệ nhỏ gọn hơn, chúng ta có thể chia cả ba số cho ước chung lớn nhất của chúng (ở đây là 4):
\(216 \div 4 = 54\)
\(420 \div 4 = 105\)
\(800 \div 4 = 200\)
Vậy, tỉ lệ đơn giản nhất là:
\(T_A : T_B : T_C = 54 : 105 : 200\)
Hay viết dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau:
\[\frac{T_A}{54} = \frac{T_B}{105} = \frac{T_C}{200}\]

Bước 4: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Chúng ta đã có:
\[\frac{T_A}{54} = \frac{T_B}{105} = \frac{T_C}{200}\]
Và tổng số thóc là: \(T_A + T_B + T_C = 359\).

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\[\frac{T_A}{54} = \frac{T_B}{105} = \frac{T_C}{200} = \frac{T_A + T_B + T_C}{54 + 105 + 200}\]
Thay tổng số thóc và tổng các mẫu số vào:
\[\frac{T_A}{54} = \frac{T_B}{105} = \frac{T_C}{200} = \frac{359}{359}\]
\[\frac{T_A}{54} = \frac{T_B}{105} = \frac{T_C}{200} = 1\]

Từ đây, chúng ta dễ dàng tìm được lượng thóc của mỗi máy:
* Với máy A: \(\frac{T_A}{54} = 1 \Rightarrow T_A = 54 \cdot 1 = 54\) (tấn)
* Với máy B: \(\frac{T_B}{105} = 1 \Rightarrow T_B = 105 \cdot 1 = 105\) (tấn)
* Với máy C: \(\frac{T_C}{200} = 1 \Rightarrow T_C = 200 \cdot 1 = 200\) (tấn)

Kiểm tra lại:
Tổng số thóc là \(54 + 105 + 200 = 359\) tấn. Đúng với đề bài!

Kết luận:

Vậy, máy A xay được 54 tấn thóc, máy B xay được 105 tấn thóc và máy C xay được 200 tấn thóc.

Các em thấy không, bài toán này không hề khó nếu chúng ta nắm vững các kiến thức về tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch và cách áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau. Hãy luyện tập thêm để tự tin giải quyết mọi bài toán tương tự nhé! Chúc các em học tốt!