Chào các em học sinh yêu quý! Cô là giáo viên Toán của chúng ta đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục hai bài toán thú vị trong chương trình Toán lớp 6 nhé. Các em hãy tập trung lắng nghe và ghi chép đầy đủ nhé!

Bài 1: So sánh S với 1/2

Đề bài yêu cầu chúng ta so sánh tổng S = 1/51 + 1/52 + 1/53 + … + 1/98 + 1/99 + 1/100 với 1/2.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ nhóm các phân số lại với nhau để ước lượng giá trị của tổng S.

Đầu tiên, ta nhận thấy rằng tổng S có các phân số có mẫu số từ 51 đến 100.
Chúng ta sẽ chia các phân số này thành các nhóm.

Nhóm 1: Từ 1/51 đến 1/75.
Trong nhóm này, có bao nhiêu phân số? Chúng ta có thể tính số lượng bằng cách lấy số cuối trừ số đầu rồi cộng 1.
Số lượng phân số = 75 – 51 + 1 = 25 phân số.

Bây giờ, ta ước lượng giá trị của từng phân số trong nhóm này.
Ta thấy:
1/51 > 1/75
1/52 > 1/75
…
1/75 = 1/75

Cộng tất cả các phân số trong nhóm này lại, ta có:
1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 1/75 + 1/75 + … + 1/75 (với 25 phân số 1/75)
1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 25 * (1/75)
1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 25/75
1/51 + 1/52 + … + 1/75 > 1/3

Nhóm 2: Từ 1/76 đến 1/100.
Trong nhóm này, có bao nhiêu phân số?
Số lượng phân số = 100 – 76 + 1 = 25 phân số.

Ta ước lượng giá trị của từng phân số trong nhóm này:
1/76 > 1/100
1/77 > 1/100
…
1/100 = 1/100

Cộng tất cả các phân số trong nhóm này lại, ta có:
1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 1/100 + 1/100 + … + 1/100 (với 25 phân số 1/100)
1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 25 * (1/100)
1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 25/100
1/76 + 1/77 + … + 1/100 > 1/4

Bây giờ, ta cộng tổng giá trị của hai nhóm lại để ước lượng tổng S.
S = (1/51 + 1/52 + … + 1/75) + (1/76 + 1/77 + … + 1/100)
Ta có:
S > 1/3 + 1/4

Để so sánh với 1/2, chúng ta quy đồng mẫu số cho 1/3 và 1/4. Mẫu số chung nhỏ nhất là 12.
1/3 = 4/12
1/4 = 3/12

Vậy:
S > 4/12 + 3/12
S > 7/12

Bây giờ, chúng ta so sánh 7/12 với 1/2.
Ta thấy 1/2 = 6/12.
Vì 7/12 > 6/12, nên S > 1/2.

Kết luận: S lớn hơn 1/2.

Bài 2: Chứng minh phân số M là phân số tối giản

Đề bài yêu cầu chứng minh M = (n-2021)/(n-2022) là một phân số tối giản với n thuộc Z và n khác 2022.

Để chứng minh một phân số là tối giản, chúng ta cần chứng minh rằng ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số là 1.
Ở đây, tử số là (n-2021) và mẫu số là (n-2022).

Chúng ta sẽ sử dụng tính chất của ƯCLN: Nếu d là một ước chung của hai số a và b, thì d cũng là ước của hiệu a – b (hoặc b – a).

Gọi d là một ước chung của tử số (n-2021) và mẫu số (n-2022).
Theo định nghĩa, ta có:
n – 2021 chia hết cho d
n – 2022 chia hết cho d

Vì d chia hết cho cả hai số này, nên d cũng chia hết cho hiệu của chúng:
(n – 2021) – (n – 2022) chia hết cho d

Ta thực hiện phép trừ:
n – 2021 – n + 2022 chia hết cho d
(n – n) + (-2021 + 2022) chia hết cho d
0 + 1 chia hết cho d
1 chia hết cho d

Điều này có nghĩa là d là một ước của 1.
Các ước của 1 chỉ có thể là 1 hoặc -1.

Vì d là ước chung của tử số và mẫu số, và chúng ta đang xét tính tối giản của phân số (thường xét với số nguyên dương), nên ta xét d = 1.

Vậy, ước chung lớn nhất của (n-2021) và (n-2022) là 1.
Do đó, phân số M = (n-2021)/(n-2022) là một phân số tối giản.

Các em đã hiểu bài chưa nào? Nếu có chỗ nào chưa rõ, hãy mạnh dạn hỏi cô nhé. Chúc các em học tốt!