Phần 1: Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Đây là dạng bài toán năng suất quen thuộc. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định rõ đại lượng cần tìm và mối liên hệ giữa các đại lượng.

Bước 1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.

Gọi thời gian người thứ nhất hoàn thành công việc một mình là \(x\) (ngày).
Gọi thời gian người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \(y\) (ngày).

Điều kiện: \(x > 0\), \(y > 0\) và \(x\), \(y\) có đơn vị là ngày.

Bước 2: Biểu diễn năng suất của mỗi người.

Nếu người thứ nhất hoàn thành công việc trong \(x\) ngày, thì trong 1 ngày, người thứ nhất hoàn thành \(\frac{1}{x}\) công việc.
Nếu người thứ hai hoàn thành công việc trong \(y\) ngày, thì trong 1 ngày, người thứ hai hoàn thành \(\frac{1}{y}\) công việc.

Bước 3: Lập phương trình dựa trên các thông tin của đề bài.

* Thông tin thứ nhất: Hai người cùng làm trong 6 ngày thì xong công việc.
Năng suất của hai người khi làm chung trong 1 ngày là \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).
Vậy, trong 6 ngày, họ hoàn thành \(6 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\) công việc.
Vì họ làm xong công việc, nên ta có phương trình đầu tiên:
\[ 6 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 1 \]
Hay có thể viết gọn là:
\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \]

* Thông tin thứ hai: Hai người làm cùng nhau trong 3 ngày, sau đó người thứ nhất đi làm việc khác, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày nữa thì hoàn thành.
Trong 3 ngày, hai người cùng làm được: \(3 \times (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\) công việc.
Sau đó, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày, hoàn thành thêm: \(4 \times \frac{1}{y}\) công việc.
Tổng cộng, công việc hoàn thành là: \(3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) + 4 \left( \frac{1}{y} \right) = 1\)
Thay biểu thức của phương trình thứ nhất vào, ta có thể đơn giản hóa:
Trong 3 ngày, họ làm được: \(3 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\) công việc.
Vậy, người thứ hai làm một mình trong 4 ngày hoàn thành phần việc còn lại là \(1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) công việc.
Từ đó, ta có phương trình thứ hai:
\[ 4 \times \frac{1}{y} = \frac{1}{2} \]
Hay:
\[ \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \]

Bước 4: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ phương trình:
1) \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}\)
2) \(\frac{1}{y} = \frac{1}{8}\)

Từ phương trình (2), ta dễ dàng tìm được \(y\).
\(\frac{1}{y} = \frac{1}{8} \implies y = 8\) (ngày).

Thay giá trị \(\frac{1}{y} = \frac{1}{8}\) vào phương trình (1):
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{8} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{1}{x} = \frac{1}{6} – \frac{1}{8}\)

Để trừ hai phân số này, ta quy đồng mẫu số. Mẫu số chung nhỏ nhất của 6 và 8 là 24.
\(\frac{1}{x} = \frac{4}{24} – \frac{3}{24}\)
\(\frac{1}{x} = \frac{1}{24}\)
\(\implies x = 24\) (ngày).

Bước 5: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

Ta tìm được \(x = 24\) và \(y = 8\). Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện \(x > 0\) và \(y > 0\).

Vậy, nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc trong 24 ngày, và người thứ hai hoàn thành công việc trong 8 ngày.

Phần 2: Tính thể tích bồn nước hình trụ.

Đây là bài toán áp dụng công thức tính thể tích hình trụ.

Bước 1: Đổi đơn vị đo về cùng hệ mét.

Đề bài cho đường kính đáy là 60cm, chiều cao là 1m. Chúng ta cần đổi tất cả về mét để tính thể tích theo mét khối.
Đường kính đáy \(d = 60\) cm \(= 0,6\) m.
Bán kính đáy \(r = \frac{d}{2} = \frac{0,6}{2} = 0,3\) m.
Chiều cao \(h = 1\) m.

Bước 2: Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ.

Công thức tính thể tích hình trụ là:
\[ V = \pi r^2 h \]
Trong đó:
\(V\) là thể tích hình trụ.
\(\pi\) là hằng số pi, đề bài cho phép lấy xấp xỉ là 3,14.
\(r\) là bán kính đáy.
\(h\) là chiều cao.

Bước 3: Thay số vào công thức và tính toán.

\(V = \pi \times r^2 \times h\)
\(V \approx 3,14 \times (0,3)^2 \times 1\)
\(V \approx 3,14 \times 0,09 \times 1\)
\(V \approx 0,2826\) (m³).

Bước 4: Kết luận.

Vậy, bồn nước này đựng đầy được khoảng 0,2826 mét khối nước.

Các em thấy không, với kiến thức đã học, chúng ta hoàn toàn có thể giải quyết được những bài toán thực tế như thế này. Các em hãy ôn tập kỹ các dạng bài và công thức để chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy. Chúc các em học tốt!