Chào các em học sinh yêu quý của thầy! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán hình học thú vị về tứ giác và các đường trung tuyến. Bài toán này nằm trong chương trình Toán lớp 8, sách giáo khoa mới. Các em hãy lấy vở và bút ra, chúng ta bắt đầu nào!

Bài 4: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Để xác định hình dạng của tứ giác EFGH, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về đường trung bình của tam giác.

Xét tam giác ABC, ta có:
E là trung điểm của AB.
F là trung điểm của BC.
Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng EF nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác ABC là đường trung bình của tam giác này.
Do đó, EF song song với AC và \(EF = \frac{1}{2}AC\). (1)

Xét tam giác ADC, ta có:
H là trung điểm của DA.
G là trung điểm của CD.
Theo định nghĩa đường trung bình của tam giác, đoạn thẳng HG nối hai trung điểm của hai cạnh của tam giác ADC là đường trung bình của tam giác này.
Do đó, HG song song với AC và \(HG = \frac{1}{2}AC\). (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra EF song song với HG và EF = HG.
Một tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau thì đó là hình bình hành.
Vậy, tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tiếp theo, chúng ta xét mối quan hệ giữa hai đường chéo AC và BD. Đề bài cho biết AC vuông góc với BD.
Vì EF song song với AC và HG song song với AC, nên EF song song với HG.
Vì HG song song với AC, nên HG cũng vuông góc với BD.

Bây giờ, chúng ta xét tam giác ABD:
E là trung điểm của AB.
H là trung điểm của DA.
Do đó, EH là đường trung bình của tam giác ABD.
Suy ra EH song song với BD và \(EH = \frac{1}{2}BD\). (3)

Bây giờ, chúng ta xét tam giác BCD:
F là trung điểm của BC.
G là trung điểm của CD.
Do đó, FG là đường trung bình của tam giác BCD.
Suy ra FG song song với BD và \(FG = \frac{1}{2}BD\). (4)

Từ (3) và (4), ta suy ra EH song song với FG và EH = FG.
Như vậy, tứ giác EFGH có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên nó là hình bình hành.

Bây giờ, chúng ta cần xem xét xem hình bình hành này có tính chất đặc biệt gì không.
Ta có EF song song với AC.
Ta có EH song song với BD.
Mà AC vuông góc với BD (theo giả thiết).
Do đó, EF vuông góc với EH.

Một hình bình hành có một góc vuông thì nó là hình chữ nhật.
Vậy, tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

b) Tính diện tích của tứ giác EFGH. Biết AC = 6cm, BD = 4cm.

Chúng ta đã chứng minh được EFGH là hình chữ nhật. Diện tích của hình chữ nhật được tính bằng tích hai cạnh kề của nó, ví dụ \(S_{EFGH} = EF \cdot EH\).

Từ các kết quả ở phần a):
\(EF = \frac{1}{2}AC\)
\(EH = \frac{1}{2}BD\)

Thay giá trị AC = 6cm và BD = 4cm vào, ta có:
\(EF = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\) cm.
\(EH = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) cm.

Vậy, diện tích của tứ giác EFGH là:
\(S_{EFGH} = EF \cdot EH = 3 \cdot 2 = 6\) cm².

Một cách khác để tính diện tích của tứ giác EFGH dựa trên tính chất của hình chữ nhật và mối quan hệ với các đường chéo:
Diện tích của hình chữ nhật EFGH cũng có thể được tính bằng công thức liên quan đến độ dài các đường chéo của hình chữ nhật ban đầu.
Chúng ta đã có EF song song AC, EH song song BD.
Và \(EF = \frac{1}{2}AC\), \(EH = \frac{1}{2}BD\).
Vì EF song song AC và EH song song BD, và AC vuông góc BD, nên EF vuông góc EH.
Do đó, tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Ta có thể chứng minh diện tích của EFGH bằng \(S_{EFGH} = \frac{1}{2} S_{ABCD}\). Tuy nhiên, đề bài yêu cầu tính diện tích của EFGH dựa trên độ dài AC và BD, không cần tính diện tích ABCD.

Quay lại công thức diện tích hình chữ nhật:
\(S_{EFGH} = EF \cdot EH\)
Với \(EF = \frac{1}{2}AC\) và \(EH = \frac{1}{2}BD\).
\(S_{EFGH} = \left(\frac{1}{2}AC\right) \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{4} AC \cdot BD\).
Tuy nhiên, công thức này đúng khi EFGH là hình thoi hoặc hình vuông.

Trong trường hợp này, ta đã chứng minh EFGH là hình chữ nhật, nên \(S_{EFGH} = EF \cdot EH\).
\(EF = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3\) cm.
\(EH = \frac{1}{2}BD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2\) cm.
\(S_{EFGH} = 3 \cdot 2 = 6\) cm².

Một cách suy luận khác cho diện tích EFGH:
Diện tích của hình chữ nhật EFGH bằng tích hai cạnh kề của nó. Ta đã chứng minh được EF = HG = AC/2 và EH = FG = BD/2.
Vì EF song song AC và EH song song BD, mà AC vuông góc BD, nên EF vuông góc EH.
Do đó, EFGH là hình chữ nhật với các cạnh là EF và EH.
Diện tích \(S_{EFGH} = EF \times EH = \frac{AC}{2} \times \frac{BD}{2} = \frac{AC \times BD}{4}\).
Áp dụng vào bài toán:
\(S_{EFGH} = \frac{6 \times 4}{4} = \frac{24}{4} = 6\) cm².

Lưu ý: Công thức \(S_{EFGH} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \alpha\) là công thức diện tích cho tứ giác nói chung, với \(d_1, d_2\) là độ dài hai đường chéo và \(\alpha\) là góc giữa hai đường chéo. Đối với tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc nhau (\(\alpha = 90^\circ\), \(\sin 90^\circ = 1\)), nên \(S_{ABCD} = \frac{1}{2} AC \cdot BD\).
Vì EFGH là hình chữ nhật và \(EF = AC/2\), \(EH = BD/2\), nên diện tích của EFGH là \(S_{EFGH} = EF \cdot EH = \frac{AC}{2} \cdot \frac{BD}{2} = \frac{AC \cdot BD}{4}\).

c) Để EFGH là hình vuông thì hai đường chéo cần điều kiện gì?

Chúng ta đã biết EFGH là hình chữ nhật với các cạnh \(EF = \frac{1}{2}AC\) và \(EH = \frac{1}{2}BD\).
Để một hình chữ nhật trở thành hình vuông, thì hai cạnh kề của nó phải bằng nhau.
Do đó, để EFGH là hình vuông, ta cần có:
\(EF = EH\)

Thay biểu thức của EF và EH theo AC và BD vào, ta có:
\(\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD\)

Nhân cả hai vế với 2, ta được:
\(AC = BD\)

Điều này có nghĩa là, để tứ giác EFGH là hình vuông, thì độ dài hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải bằng nhau.

Vì EFGH là hình chữ nhật, nó sẽ trở thành hình vuông khi hai cạnh kề của nó bằng nhau. Ta có \(EF = \frac{AC}{2}\) và \(EH = \frac{BD}{2}\).
Để \(EF = EH\), ta cần \(\frac{AC}{2} = \frac{BD}{2}\), suy ra \(AC = BD\).

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể xem xét tính chất của hình vuông: hai đường chéo vuông góc và bằng nhau.
Tứ giác EFGH có các cạnh là đường trung bình của các tam giác tạo bởi các đường chéo.
Ta đã chứng minh EF song song AC, EH song song BD.
Để EFGH là hình vuông, nó phải là hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau hoặc là hình thoi có hai đường chéo vuông góc.
Vì EFGH đã là hình chữ nhật, nên để nó là hình vuông, ta cần hai cạnh kề bằng nhau, tức là \(EF = EH\), dẫn đến \(AC = BD\).

Nếu ta xem xét EFGH là hình thoi trước, thì nó cần có hai đường chéo vuông góc.
Đường chéo EG và đường chéo FH.
Chúng ta đã biết EF song song AC, HG song song AC, nên EG song song AC.
FG song song BD, EH song song BD, nên FH song song BD.
Vì AC vuông góc BD, nên EG vuông góc FH.
Như vậy, EFGH là hình thoi.
Để hình thoi EFGH là hình vuông, nó cần có hai đường chéo bằng nhau: \(EG = FH\).

Tuy nhiên, cách tiếp cận trên có vẻ hơi phức tạp hơn. Cách đơn giản nhất là dựa vào việc EFGH là hình chữ nhật.
Để hình chữ nhật EFGH là hình vuông, ta cần hai cạnh kề của nó bằng nhau:
\(EF = EH\)
\(\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD\)
\(AC = BD\)

Do đó, điều kiện để EFGH là hình vuông là hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD phải có độ dài bằng nhau.

Các em về nhà ôn tập kỹ các định lý về đường trung bình của tam giác và các tính chất của hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông để có thể giải tốt các bài toán tương tự nhé! Thầy chào các em!