Chào các em học sinh yêu quý! Thầy/cô rất vui được cùng các em khám phá những điều thú vị của môn Toán lớp 8 hôm nay. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết Bài toán 3 – một bài toán quan trọng giúp các em rèn luyện kỹ năng giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích. Đây là một phương pháp rất hay và thường gặp trong chương trình Toán 8 của cả ba bộ sách Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo và Cánh diều đó các em.

Để giải được những bài toán này, các em cần nhớ lại các kiến thức cơ bản về:

• Chuyển vế đổi dấu.
• Đặt nhân tử chung.
• Tính chất: Nếu tích của hai thừa số bằng 0, tức là \(A \cdot B = 0\), thì hoặc thừa số A bằng 0 hoặc thừa số B bằng 0 (hay cả hai đều bằng 0).

Nào, chúng ta cùng bắt đầu nhé!

— Lời giải chi tiết —

a) Tìm x biết: \(4x(x + 1) = 8(x + 1)\)

Đây là một phương trình mà chúng ta có thể đưa về dạng tích bằng cách chuyển tất cả các hạng tử sang một vế và đặt nhân tử chung.

1. Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái.
   Để làm được điều này, chúng ta sẽ chuyển hạng tử \(8(x + 1)\) từ vế phải sang vế trái và đổi dấu của nó.
   \[4x(x + 1) – 8(x + 1) = 0\]
   Giải thích: Việc chuyển vế giúp chúng ta đưa phương trình về dạng \(A = 0\), từ đó dễ dàng tìm nhân tử chung và áp dụng tính chất tích bằng 0.
2. Bước 2: Đặt nhân tử chung.
   Trong phương trình trên, các em thấy thừa số \((x + 1)\) xuất hiện ở cả hai hạng tử. Chúng ta sẽ đặt \((x + 1)\) làm nhân tử chung.
   \[(x + 1)(4x – 8) = 0\]
   Giải thích: Đây là kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử mà các em đã học. Khi đặt \((x + 1)\) ra ngoài, hạng tử \(4x(x + 1)\) còn lại \(4x\), và hạng tử \(-8(x + 1)\) còn lại \(-8\).
3. Bước 3: Áp dụng tính chất tích bằng 0.
   Chúng ta có dạng \(A \cdot B = 0\), trong đó \(A = x + 1\) và \(B = 4x – 8\). Khi đó, hoặc \(A = 0\) hoặc \(B = 0\).
   Trường hợp 1: \(x + 1 = 0\)
   Trường hợp 2: \(4x – 8 = 0\)
   Giải thích: Đây là tính chất quan trọng giúp chúng ta tách một phương trình tích thành hai phương trình bậc nhất đơn giản hơn để giải.
4. Bước 4: Giải từng trường hợp để tìm x.
   Trường hợp 1: \(x + 1 = 0\)
   Chuyển \(1\) sang vế phải: \(x = -1\)
   Trường hợp 2: \(4x – 8 = 0\)
   Chuyển \(-8\) sang vế phải: \(4x = 8\)
   Chia cả hai vế cho \(4\): \(x = 8 \div 4\)
   \(x = 2\)
   Giải thích: Chúng ta giải các phương trình bậc nhất cơ bản để tìm giá trị của \(x\).

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = -1\) hoặc \(x = 2\).

b) Tìm x biết: \(x(x – 1) – 2(1 – x) = 0\)

Bài toán này cũng tương tự như câu a, nhưng chúng ta cần một bước biến đổi nhỏ trước khi đặt nhân tử chung.

1. Bước 1: Biến đổi hạng tử \((1 – x)\) để xuất hiện nhân tử chung.
   Các em thấy có \((x – 1)\) và \((1 – x)\). Chúng ta biết rằng \((1 – x) = -(x – 1)\).
   Thay thế vào phương trình:
   \[x(x – 1) – 2(-(x – 1)) = 0\]
   Giải thích: Đây là một thủ thuật thường dùng để tạo ra nhân tử chung khi chúng ta gặp hai biểu thức là số đối của nhau. Chú ý dấu trừ phía trước sẽ nhân với dấu trừ của \(-(x-1)\) tạo thành dấu cộng.
2. Bước 2: Rút gọn phương trình.
   \[x(x – 1) + 2(x – 1) = 0\]
3. Bước 3: Đặt nhân tử chung.
   Nhân tử chung ở đây là \((x – 1)\).
   \[(x – 1)(x + 2) = 0\]
   Giải thích: Khi đặt \((x – 1)\) ra ngoài, hạng tử \(x(x – 1)\) còn lại \(x\), và hạng tử \(2(x – 1)\) còn lại \(2\).
4. Bước 4: Áp dụng tính chất tích bằng 0 và giải từng trường hợp.
   Trường hợp 1: \(x – 1 = 0\)
   \(x = 1\)
   Trường hợp 2: \(x + 2 = 0\)
   \(x = -2\)
   Giải thích: Giống như câu a, chúng ta tách thành hai phương trình bậc nhất và giải.

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = 1\) hoặc \(x = -2\).

c) Tìm x biết: \(2x(x – 2) – (2 – x) = 0\)

Bài này tương tự câu b, chúng ta cũng cần biến đổi để tạo nhân tử chung.

1. Bước 1: Biến đổi hạng tử \((2 – x)\) để xuất hiện nhân tử chung.
   Ta có \((2 – x) = -(x – 2)\). Thay thế vào phương trình:
   \[2x(x – 2) – (-(x – 2)) = 0\]
   Giải thích: Đây là bước biến đổi quen thuộc, biến biểu thức thành số đối để khớp với nhân tử chung đã có.
2. Bước 2: Rút gọn phương trình.
   \[2x(x – 2) + (x – 2) = 0\]
   Giải thích: Dấu trừ nhân với dấu trừ trở thành dấu cộng. Lưu ý, khi đặt \((x-2)\) ra ngoài từ \((x-2)\) thì còn lại \(1\).
3. Bước 3: Đặt nhân tử chung.
   Nhân tử chung là \((x – 2)\).
   \[(x – 2)(2x + 1) = 0\]
   Giải thích: Hạng tử \(2x(x-2)\) còn lại \(2x\), và hạng tử \((x-2)\) còn lại \(1\).
4. Bước 4: Áp dụng tính chất tích bằng 0 và giải từng trường hợp.
   Trường hợp 1: \(x – 2 = 0\)
   \(x = 2\)
   Trường hợp 2: \(2x + 1 = 0\)
   \(2x = -1\)
   \(x = -\frac{1}{2}\)
   Giải thích: Chúng ta giải hai phương trình bậc nhất cơ bản.

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = 2\) hoặc \(x = -\frac{1}{2}\).

d) Tìm x biết: \((x – 3) + 3 – x = 0\)

Bài toán này có vẻ đơn giản hơn, chúng ta chỉ cần thu gọn các hạng tử.

1. Bước 1: Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng.
   \[x – 3 + 3 – x = 0\]
   Giải thích: Khi bỏ ngoặc có dấu cộng phía trước, các hạng tử bên trong giữ nguyên dấu.
2. Bước 2: Thu gọn các hạng tử.
   Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và các hằng số:
   \[(x – x) + (-3 + 3) = 0\]
   \[0 + 0 = 0\]
   \[0 = 0\]
   Giải thích: Chúng ta cộng hoặc trừ các hạng tử cùng loại. \(x – x = 0\) và \(-3 + 3 = 0\).

Kết quả cuối cùng là \(0 = 0\). Đây là một đẳng thức đúng với mọi giá trị của \(x\). Điều này có nghĩa là phương trình có vô số nghiệm.

Vậy, phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\).

g) Tìm x biết: \(5x(x – 2000) – x + 2000 = 0\)

Đây là một bài toán tương tự câu b và c, chỉ khác về các con số.

1. Bước 1: Biến đổi hạng tử \((-x + 2000)\) để xuất hiện nhân tử chung.
   Ta có \((-x + 2000) = -(x – 2000)\). Thay thế vào phương trình:
   \[5x(x – 2000) – (x – 2000) = 0\]
   Giải thích: Tương tự như các bài trước, chúng ta biến đổi biểu thức để tạo ra nhân tử chung \((x – 2000)\).
2. Bước 2: Đặt nhân tử chung.
   Nhân tử chung là \((x – 2000)\).
   \[(x – 2000)(5x – 1) = 0\]
   Giải thích: Hạng tử \(5x(x-2000)\) còn lại \(5x\), và hạng tử \(-(x-2000)\) còn lại \(-1\).
3. Bước 3: Áp dụng tính chất tích bằng 0 và giải từng trường hợp.
   Trường hợp 1: \(x – 2000 = 0\)
   \(x = 2000\)
   Trường hợp 2: \(5x – 1 = 0\)
   \(5x = 1\)
   \(x = \frac{1}{5}\)
   Giải thích: Giải hai phương trình bậc nhất cơ bản.

Vậy, các giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = 2000\) hoặc \(x = \frac{1}{5}\).

h) Tìm x biết: \(x – 4x = 0\)

Đây là một phương trình bậc nhất rất cơ bản.

1. Bước 1: Thu gọn các hạng tử đồng dạng.
   Chúng ta có \(x – 4x\). Khi cộng/trừ các hạng tử chứa \(x\), ta giữ nguyên biến \(x\) và thực hiện phép tính với các hệ số của nó (ở đây là \(1\) và \(-4\)).
   \[(1 – 4)x = 0\]
   \[-3x = 0\]
   Giải thích: \(x\) có thể hiểu là \(1x\). Khi đó, \(1x – 4x = (1 – 4)x = -3x\).
2. Bước 2: Giải phương trình bậc nhất.
   Để tìm \(x\), chúng ta chia cả hai vế cho \(-3\).
   \[x = 0 \div (-3)\]
   \[x = 0\]
   Giải thích: Một số nhân với \(x\) bằng \(0\) thì \(x\) phải bằng \(0\).

Vậy, giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = 0\).

k) Tìm x biết: \((1 – x) – 1 + x = 0\)

Bài toán này tương tự câu d, chúng ta sẽ thu gọn biểu thức.

1. Bước 1: Bỏ dấu ngoặc và nhóm các hạng tử đồng dạng.
   \[1 – x – 1 + x = 0\]
   Giải thích: Khi bỏ ngoặc có dấu cộng phía trước, các hạng tử bên trong giữ nguyên dấu.
2. Bước 2: Thu gọn các hạng tử.
   Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và các hằng số:
   \[(1 – 1) + (-x + x) = 0\]
   \[0 + 0 = 0\]
   \[0 = 0\]
   Giải thích: \(1 – 1 = 0\) và \(-x + x = 0\).

Kết quả cuối cùng là \(0 = 0\). Đây là một đẳng thức đúng với mọi giá trị của \(x\). Điều này có nghĩa là phương trình có vô số nghiệm.

Vậy, phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\).

m) Tìm x biết: \(x + 6x = 0\)

Đây cũng là một phương trình bậc nhất rất cơ bản.

1. Bước 1: Thu gọn các hạng tử đồng dạng.
   \[(1 + 6)x = 0\]
   \[7x = 0\]
   Giải thích: \(x\) có thể hiểu là \(1x\). Khi đó, \(1x + 6x = (1 + 6)x = 7x\).
2. Bước 2: Giải phương trình bậc nhất.
   Để tìm \(x\), chúng ta chia cả hai vế cho \(7\).
   \[x = 0 \div 7\]
   \[x = 0\]
   Giải thích: Một số nhân với \(x\) bằng \(0\) thì \(x\) phải bằng \(0\).

Vậy, giá trị của \(x\) thỏa mãn phương trình là \(x = 0\).

Qua bài tập này, thầy/cô hy vọng các em đã nắm vững hơn phương pháp giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích, cũng như cách xử lý các trường hợp đặc biệt như phương trình vô số nghiệm. Hãy luôn nhớ rằng, kiên trì và cẩn thận trong từng bước làm là chìa khóa để giải toán thành công nhé!

Chúc các em học tốt!