Chào các em học sinh lớp 9 thân mến! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về một khái niệm rất quan trọng trong chương trình Toán học lớp 9, đặc biệt là khi làm việc với các biểu thức chứa căn bậc hai: đó là biểu thức liên hợp.

Trước hết, chúng ta cùng định nghĩa biểu thức liên hợp là gì nhé.

Định nghĩa Biểu thức liên hợp:

Trong toán học, biểu thức liên hợp của một biểu thức chứa căn bậc hai là một biểu thức mà khi nhân hai biểu thức này với nhau, kết quả sẽ là một biểu thức không còn chứa căn bậc hai ở mẫu hoặc không còn chứa căn bậc hai một cách “phức tạp”. Mục đích chính của việc sử dụng biểu thức liên hợp là để trục căn thức ở mẫu hoặc để rút gọn biểu thức.

Chúng ta có hai dạng biểu thức liên hợp thường gặp nhất:

1. Đối với biểu thức dạng \(a + \sqrt{b}\) hoặc \(a – \sqrt{b}\):

* Biểu thức liên hợp của \(a + \sqrt{b}\) là \(a – \sqrt{b}\).
* Biểu thức liên hợp của \(a – \sqrt{b}\) là \(a + \sqrt{b}\).

Lý do chúng ta chọn biểu thức này là vì nó sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:
\[(a – b)(a + b) = a^2 – b^2\]
Khi áp dụng vào biểu thức của chúng ta, ví dụ với \( (a + \sqrt{b})(a – \sqrt{b}) \), ta có:
\[(a + \sqrt{b})(a – \sqrt{b}) = a^2 – (\sqrt{b})^2 = a^2 – b\]
Như các em thấy, kết quả \(a^2 – b\) là một biểu thức không còn chứa căn bậc hai.

2. Đối với biểu thức dạng \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) hoặc \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\):

* Biểu thức liên hợp của \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) là \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\).
* Biểu thức liên hợp của \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\) là \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\).

Tương tự như trường hợp trên, chúng ta cũng dựa vào hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\). Khi áp dụng vào biểu thức của chúng ta, ví dụ với \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b}) \), ta có:
\[(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} – \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 – (\sqrt{b})^2 = a – b\]
Kết quả \(a – b\) cũng là một biểu thức không còn chứa căn bậc hai.

Ví dụ minh họa:

Bây giờ, chúng ta sẽ cùng xem xét một vài ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn về cách áp dụng biểu thức liên hợp.

Ví dụ 1: Tìm biểu thức liên hợp của \(5 + \sqrt{3}\) và tính tích của chúng.

* Bước 1: Xác định dạng biểu thức. Biểu thức đã cho có dạng \(a + \sqrt{b}\), với \(a = 5\) và \(b = 3\).
* Bước 2: Tìm biểu thức liên hợp. Dựa vào định nghĩa, biểu thức liên hợp của \(5 + \sqrt{3}\) là \(5 – \sqrt{3}\).
* Bước 3: Tính tích của hai biểu thức. Ta áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\):
\[(5 + \sqrt{3})(5 – \sqrt{3}) = 5^2 – (\sqrt{3})^2\]
* Bước 4: Tính toán kết quả.
\[5^2 – (\sqrt{3})^2 = 25 – 3 = 22\]
Vậy, biểu thức liên hợp của \(5 + \sqrt{3}\) là \(5 – \sqrt{3}\), và tích của chúng là 22.

Ví dụ 2: Trục căn thức ở mẫu của biểu thức \(\frac{6}{2 – \sqrt{3}}\).

* Bước 1: Xác định mẫu thức. Mẫu thức là \(2 – \sqrt{3}\).
* Bước 2: Tìm biểu thức liên hợp của mẫu thức. Mẫu thức có dạng \(a – \sqrt{b}\), với \(a = 2\) và \(b = 3\). Biểu thức liên hợp của nó là \(2 + \sqrt{3}\).
* Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của phân số với biểu thức liên hợp của mẫu.
\[\frac{6}{2 – \sqrt{3}} = \frac{6 \times (2 + \sqrt{3})}{(2 – \sqrt{3}) \times (2 + \sqrt{3})}\]
* Bước 4: Tính toán tử số.
\[6 \times (2 + \sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3}\]
* Bước 5: Tính toán mẫu số bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2\).
\[(2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1\]
* Bước 6: Viết lại phân số sau khi đã tính toán tử và mẫu.
\[\frac{12 + 6\sqrt{3}}{1} = 12 + 6\sqrt{3}\]
Vậy, sau khi trục căn thức ở mẫu, biểu thức \(\frac{6}{2 – \sqrt{3}}\) trở thành \(12 + 6\sqrt{3}\).

Ví dụ 3: Tìm biểu thức liên hợp của \(\sqrt{7} – \sqrt{2}\) và tính tích của chúng.

* Bước 1: Xác định dạng biểu thức. Biểu thức đã cho có dạng \(\sqrt{a} – \sqrt{b}\), với \(a = 7\) và \(b = 2\).
* Bước 2: Tìm biểu thức liên hợp. Dựa vào định nghĩa, biểu thức liên hợp của \(\sqrt{7} – \sqrt{2}\) là \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\).
* Bước 3: Tính tích của hai biểu thức. Ta áp dụng hằng đẳng thức \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\):
\[(\sqrt{7} – \sqrt{2})(\sqrt{7} + \sqrt{2}) = (\sqrt{7})^2 – (\sqrt{2})^2\]
* Bước 4: Tính toán kết quả.
\[(\sqrt{7})^2 – (\sqrt{2})^2 = 7 – 2 = 5\]
Vậy, biểu thức liên hợp của \(\sqrt{7} – \sqrt{2}\) là \(\sqrt{7} + \sqrt{2}\), và tích của chúng là 5.

Các em thấy đó, việc hiểu và áp dụng đúng biểu thức liên hợp sẽ giúp chúng ta giải quyết nhiều bài toán liên quan đến căn bậc hai một cách dễ dàng và hiệu quả hơn. Hãy luyện tập thật nhiều để nắm vững kiến thức này nhé! Chúc các em học tốt!