Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán xác suất rất thú vị về bộ bài tú – lơ – khơ. Các em hãy tập trung và cùng cô đi từng bước nhé.
Trước hết, chúng ta cần xác định không gian mẫu của bài toán. Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi rút ngẫu nhiên 4 quân bài từ bộ 52 quân.
Số cách rút 4 quân bài từ 52 quân mà không quan tâm đến thứ tự chính là số tổ hợp chập 4 của 52 phần tử. Chúng ta sử dụng công thức tổ hợp vì thứ tự rút bài không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng.
Số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu là \(n(\Omega)\), được tính bằng công thức:
\[ n(\Omega) = C_{52}^4 = \binom{52}{4} \]
Bây giờ, chúng ta cùng tính toán giá trị này:
\[ C_{52}^4 = \frac{52!}{4!(52-4)!} = \frac{52!}{4!48!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725 \]
Vậy, không gian mẫu có 270725 kết quả.
Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng biến cố:

Biến cố A: Rút ra được tứ quý K
Để có được tứ quý K, chúng ta cần rút ra cả 4 quân K trong bộ bài. Bộ bài có 4 quân K.
Số cách để chọn 4 quân K từ 4 quân K là \(C_4^4\). Chúng ta chỉ có 1 cách duy nhất để thực hiện điều này.
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ký hiệu là \(n(A)\), là:
\[ n(A) = C_4^4 = 1 \]
Xác suất của biến cố A là tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho A và tổng số kết quả có thể xảy ra:
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{1}{270725} \]

Biến cố B: 4 quân bài rút ra có ít nhất một con Át
“Ít nhất một con Át” có nghĩa là có 1 con Át, hoặc 2 con Át, hoặc 3 con Át, hoặc 4 con Át. Tính trực tiếp sẽ rất phức tạp vì có nhiều trường hợp. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng biến cố đối.
Biến cố đối của B, ký hiệu là \(\overline{B}\), là “4 quân bài rút ra không có con Át nào”.
Bộ bài có 4 con Át. Vậy, số quân bài không phải là Át là \(52 – 4 = 48\) quân.
Số cách rút 4 quân bài mà không có con Át nào là số cách chọn 4 quân từ 48 quân không phải Át:
\[ n(\overline{B}) = C_{48}^4 = \binom{48}{4} \]
Tính toán giá trị này:
\[ C_{48}^4 = \frac{48!}{4!(48-4)!} = \frac{48!}{4!44!} = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580 \]
Xác suất của biến cố đối \(\overline{B}\) là:
\[ P(\overline{B}) = \frac{n(\overline{B})}{n(\Omega)} = \frac{194580}{270725} \]
Vì \(P(B) + P(\overline{B}) = 1\), nên xác suất của biến cố B là:
\[ P(B) = 1 – P(\overline{B}) = 1 – \frac{194580}{270725} \]
Để rút gọn phân số, ta có thể tìm ước chung lớn nhất hoặc rút gọn từng bước. Ở đây, ta giữ nguyên dạng phân số cho rõ ràng.
\[ P(B) = \frac{270725 – 194580}{270725} = \frac{76145}{270725} \]
Chúng ta có thể rút gọn phân số này. Chia cả tử và mẫu cho 5:
\(76145 / 5 = 15229\)
\(270725 / 5 = 54145\)
Vậy, \( P(B) = \frac{15229}{54145} \)

Biến cố C: 4 quân bài lấy ra có ít nhất hai quân bích
Tương tự như biến cố B, “ít nhất hai quân bích” bao gồm các trường hợp: có đúng 2 quân bích, có đúng 3 quân bích, hoặc có đúng 4 quân bích. Chúng ta sẽ tính từng trường hợp và cộng lại.
Bộ bài có 13 quân bích và 39 quân không phải bích.

• Trường hợp 1: Có đúng 2 quân bích.

Chúng ta cần chọn 2 quân bích từ 13 quân bích, và chọn 2 quân không phải bích từ 39 quân còn lại.
Số cách là: \(C_{13}^2 \times C_{39}^2\)
\[ C_{13}^2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 78 \]
\[ C_{39}^2 = \frac{39 \times 38}{2 \times 1} = 741 \]
Số cách cho trường hợp này là: \(78 \times 741 = 57798\)

• Trường hợp 2: Có đúng 3 quân bích.

Chúng ta cần chọn 3 quân bích từ 13 quân bích, và chọn 1 quân không phải bích từ 39 quân còn lại.
Số cách là: \(C_{13}^3 \times C_{39}^1\)
\[ C_{13}^3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 286 \]
\[ C_{39}^1 = 39 \]
Số cách cho trường hợp này là: \(286 \times 39 = 11154\)

• Trường hợp 3: Có đúng 4 quân bích.

Chúng ta cần chọn 4 quân bích từ 13 quân bích, và chọn 0 quân không phải bích từ 39 quân còn lại.
Số cách là: \(C_{13}^4 \times C_{39}^0\)
\[ C_{13}^4 = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 10}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 715 \]
\[ C_{39}^0 = 1 \]
Số cách cho trường hợp này là: \(715 \times 1 = 715\)
Tổng số kết quả thuận lợi cho biến cố C, ký hiệu là \(n(C)\), là tổng của các trường hợp trên:
\[ n(C) = 57798 + 11154 + 715 = 69667 \]
Xác suất của biến cố C là:
\[ P(C) = \frac{n(C)}{n(\Omega)} = \frac{69667}{270725} \]
Chúng ta có thể thử rút gọn phân số này. Chia cả tử và mẫu cho 13:
\(69667 / 13 = 5359\)
\(270725 / 13 = 20825\)
Vậy, \( P(C) = \frac{5359}{20825} \)

Các em thấy không, với phương pháp chia nhỏ bài toán và sử dụng công thức tổ hợp một cách hợp lý, chúng ta có thể giải quyết các bài toán xác suất này một cách dễ dàng. Hãy ôn tập kỹ các công thức và cách áp dụng nhé! Cô chúc các em học tốt!