Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô!
Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau xem xét và phân tích các đẳng thức về vecto đã cho để xác định xem đâu là đúng, đâu là sai nhé.
Các em hãy nhớ lại các quy tắc cơ bản về vecto mà chúng ta đã học trong chương trình Toán lớp 10 (dù theo bộ sách nào thì kiến thức cốt lõi về vecto cũng tương đồng).

Chúng ta sẽ lần lượt xét từng đẳng thức:

1. AB + AC = BC

Để xét tính đúng sai của đẳng thức này, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc cộng vecto. Có hai quy tắc chính là quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành. Tuy nhiên, ở đây, hai vecto hạng tử (AB và AC) có chung điểm gốc là A, nên chúng ta sẽ nghĩ đến quy tắc hình bình hành hoặc tìm cách đưa về quy tắc ba điểm.
Nếu ta cố gắng áp dụng quy tắc ba điểm cho AB + AC, ta sẽ có: AB + AC = AB + (-CA) = AB – CA. Đây không giống với vế phải là BC.
Theo quy tắc hình bình hành, nếu AB và AC là hai cạnh kề của hình bình hành ABCD, thì AB + AC = AD, trong đó AD là đường chéo xuất phát từ A.
Rõ ràng, AD không đồng nhất với BC trong trường hợp tổng quát.
Do đó, đẳng thức này sai.
Lý do: Quy tắc cộng vecto khi hai vecto có chung điểm gốc là quy tắc hình bình hành, cho kết quả là đường chéo của hình bình hành, không phải là cạnh của một tam giác tạo bởi các điểm đó theo cách này.

2. AB + CA = CB

Chúng ta lại vận dụng quy tắc cộng vecto. Hai vecto AB và CA có điểm cuối của vecto thứ nhất (B) và điểm đầu của vecto thứ hai (C) không khớp nhau. Tuy nhiên, ta có thể biến đổi CA thành một vecto có điểm đầu là B hoặc điểm cuối là A.
Ta có thể viết lại CA = -AC.
Vậy, AB + CA = AB + (-AC) = AB – AC.
Bây giờ, chúng ta cần so sánh AB – AC với CB.
Theo quy tắc trừ vecto, AB – AC = CB. (Ở đây, A là điểm chung).
Hoặc, ta có thể dùng quy tắc ba điểm để nhìn trực quan hơn:
AB + CA = CA + AB.
Để áp dụng quy tắc ba điểm, ta cần hai vecto có điểm cuối của vecto thứ nhất trùng với điểm đầu của vecto thứ hai.
Ta có thể viết lại: CA + AB = CB.
Đây chính là quy tắc cộng vecto theo quy tắc ba điểm (từ C đi đến A, rồi từ A đi đến B, kết quả là đi thẳng từ C đến B).
Do đó, đẳng thức này đúng.
Lý do: Áp dụng quy tắc cộng vecto theo quy tắc ba điểm: Nếu có ba điểm bất kỳ A, B, C, ta có \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\).

3. CA – BA = BC

Chúng ta sẽ sử dụng quy tắc trừ vecto. Với quy tắc trừ vecto, ta có: \(\vec{u} – \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})\).
Với \( \vec{CA} – \vec{BA} \), ta có thể áp dụng quy tắc trừ khi hai vecto có cùng điểm đầu.
Ta có: \(\vec{CA} – \vec{BA} = \vec{CA} + \vec{AB}\).
Theo quy tắc cộng vecto theo quy tắc ba điểm, ta có: \(\vec{CA} + \vec{AB} = \vec{CB}\).
Vậy, vế trái của đẳng thức là \(\vec{CB}\). Vế phải là \(\vec{BC}\).
Ta biết rằng \(\vec{CB} = -\vec{BC}\).
Do đó, \(\vec{CB} \neq \vec{BC}\) (trừ trường hợp B và C trùng nhau, là trường hợp suy biến).
Vì vậy, đẳng thức này sai.
Lý do: Áp dụng quy tắc trừ vecto hoặc quy tắc cộng vecto theo quy tắc ba điểm, ta thu được kết quả là \(\vec{CB}\), không phải \(\vec{BC}\).

4. AB – AC = CB

Chúng ta áp dụng quy tắc trừ vecto. Khi hai vecto có chung điểm gốc, quy tắc trừ có dạng: \(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}\).
Ở đây, hai vecto AB và AC có chung điểm gốc là A.
Theo quy tắc trừ vecto, \( \vec{AB} – \vec{AC} \) sẽ bằng vecto có điểm đầu là điểm cuối của vecto thứ hai (C) và điểm cuối là điểm cuối của vecto thứ nhất (B).
Tức là, \( \vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB} \).
Vế phải của đẳng thức đã cho là CB. Như vậy, đẳng thức này là \( \vec{CB} = \vec{CB} \).
Do đó, đẳng thức này đúng.
Lý do: Áp dụng trực tiếp quy tắc trừ vecto khi hai vecto có chung điểm gốc: Nếu có ba điểm bất kỳ A, B, C, ta có \(\vec{AB} – \vec{AC} = \vec{CB}\).

Tóm lại:
* AB + AC = BC: Sai
* AB + CA = CB: Đúng
* CA – BA = BC: Sai
* AB – AC = CB: Đúng

Chúc các em học tốt!