Xin chào các em học sinh thân mến! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em đi sâu vào một bài tập rất thú vị liên quan đến căn bậc hai. Bài toán của chúng ta là chứng minh bất đẳng thức: căn a + căn b >= căn (a+b) và tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra.

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp bình phương hai vế, một kỹ thuật rất phổ biến khi làm việc với các bất đẳng thức chứa căn thức.

Trước hết, chúng ta cần xác định điều kiện xác định của bài toán. Vì có các biểu thức dưới dấu căn, nên ta phải có:
– \(a \ge 0\)
– \(b \ge 0\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào phần chứng minh bất đẳng thức.
Ta sẽ xét hiệu của vế trái và vế phải:
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b}) – \sqrt{a+b} \)

Để làm việc với biểu thức này một cách thuận tiện, chúng ta sẽ bình phương biểu thức \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \):
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a})^2 + 2\sqrt{a}\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2 \)
\( = a + 2\sqrt{ab} + b \)
\( = (a+b) + 2\sqrt{ab} \)

Bây giờ, ta so sánh \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \) với \( (\sqrt{a+b})^2 \).
Ta có:
\( (\sqrt{a+b})^2 = a+b \)

So sánh \( (a+b) + 2\sqrt{ab} \) với \( a+b \).
Ta thấy:
\( (a+b) + 2\sqrt{ab} – (a+b) = 2\sqrt{ab} \)

Vì \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\), nên \(ab \ge 0\). Do đó, \( \sqrt{ab} \ge 0 \).
Suy ra, \( 2\sqrt{ab} \ge 0 \).

Điều này có nghĩa là:
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \ge (\sqrt{a+b})^2 \)

Vì \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) và \( \sqrt{a+b} \) đều không âm (do điều kiện \(a \ge 0, b \ge 0\)), khi bình phương hai vế của một bất đẳng thức mà cả hai vế đều không âm thì bất đẳng thức vẫn được giữ nguyên chiều.
Do đó, ta có:
\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b} \)

Như vậy, chúng ta đã chứng minh xong bất đẳng thức.

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm điều kiện để dấu bằng xảy ra.
Dấu bằng xảy ra khi:
\( (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = (\sqrt{a+b})^2 \)
Điều này tương đương với:
\( (a+b) + 2\sqrt{ab} = a+b \)
Trừ cả hai vế cho \(a+b\), ta được:
\( 2\sqrt{ab} = 0 \)
Chia cả hai vế cho 2:
\( \sqrt{ab} = 0 \)
Bình phương hai vế, ta được:
\( ab = 0 \)

Điều kiện \(ab = 0\) xảy ra khi \(a=0\) hoặc \(b=0\) (hoặc cả hai cùng bằng 0).

Vậy, dấu “=” xảy ra khi \(a=0\) hoặc \(b=0\).

Tóm lại:
Với \(a \ge 0\) và \(b \ge 0\), ta có \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b} \).
Dấu “=” xảy ra khi \(a=0\) hoặc \(b=0\).

Các em có chỗ nào chưa hiểu không? Nếu có, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô nhé!