Câu 1.Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng. Người lái xe tính rằng nếu xếp m…
Bài toán này liên quan đến việc tìm ẩn số dựa trên các điều kiện cho trước, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp lập hệ phương trình để giải.
Bước 1: Phân tích đề bài và đặt ẩn
Đề bài cho chúng ta biết về cách xếp hàng lên xe lửa theo hai trường hợp khác nhau và đưa ra thông tin về lượng hàng thừa hoặc thiếu.
Chúng ta cần tìm hai giá trị chưa biết: số toa xe và tổng lượng hàng cần vận chuyển.
Hãy gọi:
- x là số toa xe lửa (điều kiện: x là số nguyên dương).
- y là tổng số tấn hàng cần vận chuyển (điều kiện: y > 0).
Bước 2: Lập phương trình dựa trên thông tin đề bài
Chúng ta sẽ dịch từng thông tin trong đề bài thành các phương trình toán học.
Thông tin 1: “Nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn.”
Điều này có nghĩa là tổng lượng hàng ‘y’ bằng số toa ‘x’ nhân với 15 tấn mỗi toa, cộng thêm 5 tấn bị thừa ra.
Phương trình 1: \( y = 15x + 5 \)
Lý do: Chúng ta đang biểu diễn tổng lượng hàng dựa trên số toa và lượng hàng xếp mỗi toa cộng với phần thừa.
Thông tin 2: “Còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa.”
“Chở thêm 3 tấn nữa” ở đây có thể hiểu là nếu xe lửa có sức chứa tăng lên 3 tấn thì có thể chở hết toàn bộ lượng hàng ‘y’. Hoặc cách hiểu khác là, nếu xếp mỗi toa 16 tấn, thì tổng sức chứa của xe lửa (tức là 16x) sẽ lớn hơn lượng hàng cần chở ‘y’ là 3 tấn.
Chúng ta sẽ chọn cách hiểu thứ hai vì nó trực quan hơn khi lập phương trình.
Phương trình 2: \( 16x = y + 3 \)
Lý do: Tổng sức chứa của các toa xe khi xếp 16 tấn mỗi toa là \(16x\). Lượng hàng cần chở là ‘y’. Nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa, nghĩa là \(16x\) lớn hơn ‘y’ là 3 tấn, hay \(16x – y = 3\), tương đương \(16x = y + 3\).
Bước 3: Giải hệ phương trình
Bây giờ chúng ta có một hệ phương trình hai ẩn:
- Phương trình 1: \( y = 15x + 5 \)
- Phương trình 2: \( 16x = y + 3 \)
Chúng ta có thể sử dụng phương pháp thế để giải hệ này. Phương pháp thế là tìm một ẩn theo ẩn kia từ một phương trình rồi thay vào phương trình còn lại. Ở đây, phương trình 1 đã biểu diễn ‘y’ theo ‘x’ rất rõ ràng, nên chúng ta sẽ thế biểu thức của ‘y’ từ phương trình 1 vào phương trình 2.
Thế \( y = 15x + 5 \) vào phương trình 2:
\( 16x = (15x + 5) + 3 \)
Bây giờ, chúng ta chỉ còn một ẩn ‘x’ trong phương trình này. Hãy giải phương trình để tìm ‘x’.
\( 16x = 15x + 8 \)
Trừ \(15x\) ở cả hai vế:
\( 16x – 15x = 8 \)
\( x = 8 \)
Lý do: Chúng ta đã cô lập biến ‘x’ để tìm giá trị của nó.
Bước 4: Tìm giá trị của ẩn còn lại
Chúng ta đã tìm được \(x = 8\). Bây giờ, để tìm ‘y’, chúng ta chỉ cần thay giá trị của ‘x’ vào một trong hai phương trình ban đầu. Sử dụng phương trình 1 cho đơn giản nhé.
Thay \( x = 8 \) vào phương trình 1: \( y = 15x + 5 \)
\( y = 15(8) + 5 \)
\( y = 120 + 5 \)
\( y = 125 \)
Lý do: Chúng ta thay giá trị đã tìm được của ‘x’ vào biểu thức của ‘y’ để tính toán.
Bước 5: Kiểm tra lại kết quả và kết luận
Chúng ta tìm được số toa xe là 8 và tổng lượng hàng cần chở là 125 tấn.
Hãy kiểm tra lại với các điều kiện của đề bài:
*Nếu xếp mỗi toa 15 tấn: \( 15 \text{ tấn/toa} \times 8 \text{ toa} = 120 \text{ tấn} \). Còn thừa \( 125 – 120 = 5 \text{ tấn} \). Đúng với đề bài.
*Nếu xếp mỗi toa 16 tấn: \( 16 \text{ tấn/toa} \times 8 \text{ toa} = 128 \text{ tấn} \). Sức chứa này có thể chở thêm \( 128 – 125 = 3 \text{ tấn} \). Đúng với đề bài.
Kết quả của chúng ta hoàn toàn khớp với các thông tin đã cho.
Vậy, xe lửa có 8 toa và phải chở 125 tấn hàng.
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Gọi:
a là số toa của xe lửa ( a ∈ N* )
b ( tấn ) là tổng số hàng hóa ( b > 0 )
– Theo giả thiết:
+) Nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn
⇒ b = 15a + 5
⇒ 15a – b = -5 ( 1 )
+) Nếu xếp mỗi toa 16 tấn hàng thì có thể chở thêm 3 tấn nữa
⇒ b = 16a – 3
⇒ 16a – b = 3 ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ), ta có hệ phương trình:
\(\left \{ {{15a – b = -5(1)} \atop {16a – b = 3(2)}} \right.\)
Lấy ( 2 ) – ( 1 ), ta có:
( 16a – b ) – ( 15a – b ) = 3 – ( -5 )
⇔ 16a – 15a – b + b = 8
⇔ a = 8 ( Thoả mãn )
Xe lửa phải chở số tấn hàng là:
15 . 8 + 5 = 125 ( tấn )
Vậy xe lửa có 8 toa và phải chở 125 tấn hàng.
Đáp án+Giải thích các bước giải:
Gọi số tấn hàng cần chuyển là: \(x\) (tấn hàng)( \(x > 5;x \in NN\) *)
Gọi số toa tàu để chở là: \(y\) (toa) (\(y \in N\)*)
Do xếp vào mỗi toa \(15\) tấn hàng thì còn thừa lại \(5\) tấn nên ta có:
\(15 y = x – 5 (1)\)
Do xếp vào mỗi toa \(16\) tấn thì còn có thể chứa thêm \(3\) tấn nữa nên ta có:
\(16y = x + 3 (2)\)
Từ \((1)(2)\) ta có hệ phương trình:
\({(16y = x + 3),(15y = x – 5):}\)
Trừ từng vế \(2\) PT của hệ ta đc:
\(y = 8 (TM)\)
Thay \(y = 8\) vào \((1)\) ta đc:
\(15 . 8 = x – 5\)
\(-> x = 125 (TM)\)
Vậy ……….