Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy rất vui được cùng các em giải một bài toán về lũy thừa và phép tính với phân số. Đây là dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 6 của chúng ta, giúp các em củng cố kiến thức về các phép tính với số tự nhiên và phân số, đặc biệt là các quy tắc về lũy thừa.

Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài tập yêu cầu chúng ta thực hiện phép tính:
A = \(\frac{2^{12}.3^5 – 4^6.9^2}{(2^2.3)^6 + 8^4.3^5}\) + \(\frac{5^{10}.7^3 + 25^5.49^2}{(125.7)^3 + 5^9.14^3}\)

Đây là một biểu thức gồm tổng của hai phân số. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một:

Bước 1: Tính giá trị của phân số thứ nhất.

Đặt phân số thứ nhất là \(A_1\).
\[A_1 = \frac{2^{12}.3^5 – 4^6.9^2}{(2^2.3)^6 + 8^4.3^5}\]

a) Rút gọn tử số của \(A_1\): \(2^{12}.3^5 – 4^6.9^2\)

• Đầu tiên, chúng ta đưa các cơ số về dạng số nguyên tố. Ta có \(4 = 2^2\) và \(9 = 3^2\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m.n}\).
• Vậy: \(4^6 = (2^2)^6 = 2^{2.6} = 2^{12}\).
• Và: \(9^2 = (3^2)^2 = 3^{2.2} = 3^4\).
• Thay vào tử số, ta được: \(2^{12}.3^5 – 2^{12}.3^4\).
• Áp dụng tính chất phân phối: \(a.b – a.c = a.(b-c)\). Chúng ta thấy cả hai số hạng đều có \(2^{12}\) và \(3^4\) là thừa số chung.
• Vậy: \(2^{12}.3^5 – 2^{12}.3^4 = 2^{12}.3^4.(3^1 – 1)\).
• Thực hiện phép trừ trong ngoặc: \(3 – 1 = 2\).
• Tử số trở thành: \(2^{12}.3^4.2\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của một tích: \(a^m.a^n = a^{m+n}\).
• Tử số là: \(2^{12+1}.3^4 = 2^{13}.3^4\).

b) Rút gọn mẫu số của \(A_1\): \((2^2.3)^6 + 8^4.3^5\)

• Đầu tiên, chúng ta đưa các cơ số về dạng số nguyên tố. Ta có \(8 = 2^3\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của một tích: \((a.b)^n = a^n.b^n\).
• Vậy: \((2^2.3)^6 = (2^2)^6.3^6 = 2^{12}.3^6\).
• Và: \(8^4 = (2^3)^4 = 2^{3.4} = 2^{12}\).
• Thay vào mẫu số, ta được: \(2^{12}.3^6 + 2^{12}.3^5\).
• Áp dụng tính chất phân phối: \(a.b + a.c = a.(b+c)\). Chúng ta thấy cả hai số hạng đều có \(2^{12}\) và \(3^5\) là thừa số chung.
• Vậy: \(2^{12}.3^6 + 2^{12}.3^5 = 2^{12}.3^5.(3^1 + 1)\).
• Thực hiện phép cộng trong ngoặc: \(3 + 1 = 4\).
• Mẫu số trở thành: \(2^{12}.3^5.4\).
• Đưa 4 về dạng lũy thừa của 2: \(4 = 2^2\).
• Mẫu số là: \(2^{12}.3^5.2^2\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của một tích: \(a^m.a^n = a^{m+n}\).
• Mẫu số là: \(2^{12+2}.3^5 = 2^{14}.3^5\).

c) Tính giá trị của \(A_1\):
\[A_1 = \frac{2^{13}.3^4}{2^{14}.3^5}\]
Áp dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m / a^n = a^{m-n}\) (nếu \(m \ge n\)) hoặc chúng ta có thể rút gọn trực tiếp.
\[A_1 = \frac{2^{13}.3^4}{2^{13}.2^1.3^4.3^1}\]
Rút gọn các thừa số chung ở tử số và mẫu số:
\[A_1 = \frac{1}{2^1.3^1} = \frac{1}{2.3} = \frac{1}{6}\]

Bước 2: Tính giá trị của phân số thứ hai.

Đặt phân số thứ hai là \(A_2\).
\[A_2 = \frac{5^{10}.7^3 + 25^5.49^2}{(125.7)^3 + 5^9.14^3}\]

a) Rút gọn tử số của \(A_2\): \(5^{10}.7^3 + 25^5.49^2\)

• Đưa các cơ số về dạng số nguyên tố. Ta có \(25 = 5^2\) và \(49 = 7^2\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m.n}\).
• Vậy: \(25^5 = (5^2)^5 = 5^{2.5} = 5^{10}\).
• Và: \(49^2 = (7^2)^2 = 7^{2.2} = 7^4\).
• Thay vào tử số, ta được: \(5^{10}.7^3 + 5^{10}.7^4\).
• Áp dụng tính chất phân phối: \(a.b + a.c = a.(b+c)\). Chúng ta thấy cả hai số hạng đều có \(5^{10}\) và \(7^3\) là thừa số chung.
• Vậy: \(5^{10}.7^3 + 5^{10}.7^4 = 5^{10}.7^3.(1 + 7^1)\).
• Thực hiện phép cộng trong ngoặc: \(1 + 7 = 8\).
• Tử số trở thành: \(5^{10}.7^3.8\).
• Đưa 8 về dạng lũy thừa của 2: \(8 = 2^3\).
• Tử số là: \(5^{10}.7^3.2^3\).

b) Rút gọn mẫu số của \(A_2\): \((125.7)^3 + 5^9.14^3\)

• Đưa các cơ số về dạng số nguyên tố. Ta có \(125 = 5^3\) và \(14 = 2.7\).
• Áp dụng công thức lũy thừa của một tích: \((a.b)^n = a^n.b^n\).
• Vậy: \((125.7)^3 = (5^3.7)^3 = (5^3)^3.7^3 = 5^{3.3}.7^3 = 5^9.7^3\).
• Và: \(14^3 = (2.7)^3 = 2^3.7^3\).
• Thay vào mẫu số, ta được: \(5^9.7^3 + 5^9.2^3.7^3\).
• Áp dụng tính chất phân phối: \(a.b + a.c = a.(b+c)\). Chúng ta thấy cả hai số hạng đều có \(5^9\) và \(7^3\) là thừa số chung.
• Vậy: \(5^9.7^3 + 5^9.2^3.7^3 = 5^9.7^3.(1 + 2^3)\).
• Tính \(2^3 = 2.2.2 = 8\).
• Thực hiện phép cộng trong ngoặc: \(1 + 8 = 9\).
• Mẫu số trở thành: \(5^9.7^3.9\).
• Đưa 9 về dạng lũy thừa của 3: \(9 = 3^2\).
• Mẫu số là: \(5^9.7^3.3^2\).

c) Tính giá trị của \(A_2\):
\[A_2 = \frac{5^{10}.7^3.2^3}{5^9.7^3.3^2}\]
Áp dụng công thức chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m / a^n = a^{m-n}\) và rút gọn các thừa số chung.
\[A_2 = \frac{5^{10-9}.7^{3-3}.2^3}{3^2}\]
\[A_2 = \frac{5^1.7^0.2^3}{3^2}\]
Chúng ta biết rằng \(7^0 = 1\) (lũy thừa bậc 0 của một số khác 0 luôn bằng 1).
\[A_2 = \frac{5.1.8}{9} = \frac{40}{9}\]

Bước 3: Tính tổng \(A = A_1 + A_2\).
\[A = \frac{1}{6} + \frac{40}{9}\]
Để cộng hai phân số, chúng ta cần quy đồng mẫu số.
Bội chung nhỏ nhất của 6 và 9 là 18.
\[\frac{1}{6} = \frac{1.3}{6.3} = \frac{3}{18}\]
\[\frac{40}{9} = \frac{40.2}{9.2} = \frac{80}{18}\]
Thực hiện phép cộng:
\[A = \frac{3}{18} + \frac{80}{18} = \frac{3+80}{18} = \frac{83}{18}\]

Vậy, biểu thức A có giá trị là \(\frac{83}{18}\).

Tóm tắt lại các bước giải chính:

1. Phân tích các cơ số không phải số nguyên tố thành tích các thừa số nguyên tố (ví dụ: \(4=2^2, 9=3^2, 8=2^3, 25=5^2, 49=7^2, 125=5^3, 14=2.7\)).

2. Áp dụng các công thức lũy thừa:

• Lũy thừa của lũy thừa: \((a^m)^n = a^{m.n}\)
• Lũy thừa của một tích: \((a.b)^n = a^n.b^n\)
• Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m.a^n = a^{m+n}\)
• Chia hai lũy thừa cùng cơ số: \(a^m / a^n = a^{m-n}\)
• Lũy thừa bậc 0: \(a^0 = 1\) (với \(a \ne 0\))

3. Rút gọn tử số và mẫu số của từng phân số bằng cách đặt thừa số chung.

4. Rút gọn từng phân số sau khi đã tính toán tử số và mẫu số.

5. Quy đồng mẫu số và cộng hai phân số lại.

Thầy hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách thực hiện các phép tính với lũy thừa và phân số nhé! Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này!