Chào em!
Thầy rất vui được hướng dẫn em giải bài tập này. Đây là một dạng bài rất cơ bản và quan trọng khi chúng ta học về căn bậc hai đấy nhé!

Bài giải:

Để căn thức \(\(\sqrt{1+x^2}\)\) có nghĩa (hay còn gọi là xác định hoặc tồn tại giá trị trong tập hợp số thực), thì biểu thức nằm dưới dấu căn phải không âm. Điều này có nghĩa là biểu thức đó phải lớn hơn hoặc bằng 0.
Cụ thể, với căn thức \(\(\sqrt{1+x^2}\)\), chúng ta cần điều kiện sau:
\[ 1+x^2 \ge 0 \]
Bây giờ, chúng ta cùng phân tích biểu thức \(\(1+x^2\)\) nhé.

Bước 1: Xét tính chất của \(\(x^2\)\)
Chúng ta đã học rằng, với mọi số thực \(\(x\)\) bất kỳ, khi ta bình phương \(\(x\)\) lên, kết quả \(\(x^2\)\) luôn luôn là một số không âm. Tức là, \(\(x^2\)\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0.
\[ x^2 \ge 0 \quad \text{với mọi số thực } x \]

Bước 2: Cộng thêm 1 vào bất đẳng thức
Từ bất đẳng thức \(\(x^2 \ge 0\)\), nếu ta cộng thêm 1 vào cả hai vế, ta sẽ được:
\[ 1+x^2 \ge 1+0 \]
\[ 1+x^2 \ge 1 \]

Bước 3: So sánh với điều kiện
Chúng ta thấy rằng, biểu thức \(\(1+x^2\)\) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng \(\(1\)\).
Vì \(\(1\)\) là một số dương (lớn hơn \(\(0\)\)), nên đương nhiên \(\(1+x^2\)\) cũng luôn lớn hơn hoặc bằng \(\(0\)\).
Điều này có nghĩa là, bất đẳng thức \(\(1+x^2 \ge 0\)\) luôn đúng với mọi giá trị của \(\(x\)\) mà chúng ta chọn.

Kết luận:
Vậy, căn thức \(\(\sqrt{1+x^2}\)\) có nghĩa với mọi giá trị thực của \(\(x\)\).
Chúng ta có thể viết gọn là \(\(x \in \mathbb{R}\)\) (đọc là “x thuộc tập hợp số thực”).

Em thấy không, bài này khá đơn giản nếu chúng ta nắm vững kiến thức cơ bản về bất đẳng thức và tính chất của số mũ! Cố gắng lên em nhé!