Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài tập rất hay về con lắc lò xo treo thẳng đứng, liên quan đến tỉ lệ thời gian lò xo bị nén và bị giãn trong một chu kỳ. Đây là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi, đòi hỏi chúng ta nắm vững kiến thức cơ bản và khả năng phân tích chuyển động.

Hãy cùng thầy đi sâu vào từng bước nhé!

PHÂN TÍCH ĐỀ BÀI VÀ TÓM TẮT DỮ KIỆN:
Chúng ta có:

• Độ cứng của lò xo: \(K = 1 \, N/cm\)
• Khối lượng của vật: \(m = 1000 \, g\)
• Biên độ dao động: \(A = 10\sqrt{2} \, cm\)

Yêu cầu: Tìm tỉ lệ thời gian lò xo bị nén và bị giãn trong một chu kỳ (\(\frac{t_{nén}}{t_{giãn}}\)).

BƯỚC 1: ĐỔI ĐƠN VỊ VỀ HỆ SI (HỆ ĐƠN VỊ QUỐC TẾ)

Đây là một bước rất quan trọng để đảm bảo tính chính xác của kết quả.

• Độ cứng: \(K = 1 \, N/cm = 1 \times 100 \, N/m = 100 \, N/m\)
• Khối lượng: \(m = 1000 \, g = 1 \, kg\)
• Biên độ: \(A = 10\sqrt{2} \, cm = 0.1\sqrt{2} \, m\)
• Gia tốc trọng trường: \(g = 10 \, m/s^2\) (Chúng ta thường lấy giá trị này nếu đề bài không cho cụ thể)

BƯỚC 2: XÁC ĐỊNH ĐỘ BIẾN DẠNG CỦA LÒ XO TẠI VỊ TRÍ CÂN BẰNG (VTCB)

Khi treo vật vào lò xo, lò xo sẽ giãn ra một đoạn \(\Delta l_0\) để vật đạt vị trí cân bằng. Tại VTCB, lực đàn hồi cân bằng với trọng lực của vật:

\[F_{đh} = P\]
\[K\Delta l_0 = mg\]
Từ đó, ta có:
\[\Delta l_0 = \frac{mg}{K}\]
Thay số vào, ta được:
\[\Delta l_0 = \frac{1 \, kg \times 10 \, m/s^2}{100 \, N/m} = \frac{10}{100} \, m = 0.1 \, m = 10 \, cm\]

Lưu ý quan trọng: Tại VTCB (gốc tọa độ \(x=0\)), lò xo đã giãn một đoạn \(\Delta l_0 = 10 \, cm\).
Vị trí lò xo không biến dạng (chiều dài tự nhiên) sẽ ở phía trên VTCB một đoạn \(\Delta l_0\).
Vậy, vị trí mà lò xo có chiều dài tự nhiên là \(x_{NL} = -\Delta l_0 = -10 \, cm\).

BƯỚC 3: XÁC ĐỊNH KHOẢNG THỜI GIAN LÒ XO BỊ NÉN VÀ BỊ GIÃN TRONG MỘT CHU KỲ

Chúng ta biết rằng vật dao động điều hòa quanh VTCB (gốc \(x=0\)) với biên độ \(A = 10\sqrt{2} \, cm\).

• Lò xo bị nén khi chiều dài của nó nhỏ hơn chiều dài tự nhiên. Điều này xảy ra khi vật ở vị trí có tọa độ \(x < x_{NL}\), tức là \(x < -10 \, cm\).
• Lò xo bị giãn khi chiều dài của nó lớn hơn chiều dài tự nhiên. Điều này xảy ra khi vật ở vị trí có tọa độ \(x > x_{NL}\), tức là \(x > -10 \, cm\).

Ta thấy rằng \(\Delta l_0 = 10 \, cm\) và \(A = 10\sqrt{2} \, cm\). Vì \(A > \Delta l_0\), điều này có nghĩa là trong quá trình dao động, vật sẽ đi qua vị trí mà lò xo không biến dạng (vị trí có chiều dài tự nhiên). Do đó, lò xo sẽ có lúc bị nén và có lúc bị giãn.

Để tính thời gian, chúng ta có thể sử dụng Vòng tròn lượng giác (hay còn gọi là phương pháp giản đồ Fre-nen).

Trước hết, ta cần tìm tần số góc \(\omega\) và chu kỳ \(T\) của dao động:
\[\omega = \sqrt{\frac{K}{m}} = \sqrt{\frac{100}{1}} = \sqrt{100} = 10 \, rad/s\]
\[T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{10} = \frac{\pi}{5} \, s\]

Bây giờ, chúng ta xác định vị trí \(x_{NL} = -10 \, cm\) trên vòng tròn lượng giác. Gọi \(\alpha\) là góc mà véc-tơ quay tạo với trục hoành khi vật ở vị trí \(x_{NL}\).
Ta có \(x = A\cos\alpha\).
\[-10 = 10\sqrt{2}\cos\alpha\]
\[\cos\alpha = -\frac{10}{10\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}\]
Từ đây, ta suy ra \(\alpha = \frac{3\pi}{4} \, rad\) hoặc \(\alpha = -\frac{3\pi}{4} \, rad\).

Trên vòng tròn lượng giác, lò xo bị nén khi li độ \(x < -10 \, cm\). Điều này tương ứng với phần cung trên vòng tròn mà hình chiếu của nó lên trục hoành nhỏ hơn \(-10 \, cm\).
Phần cung này kéo dài từ góc \(\alpha_1 = \frac{3\pi}{4}\) đến \(\alpha_2 = \frac{5\pi}{4}\) (hoặc từ \(-3\pi/4\) đến \(-5\pi/4\) nếu xét theo chiều âm).
Tổng góc quét tương ứng với thời gian lò xo bị nén là:
\[\Delta\phi_{nén} = \frac{5\pi}{4} – \frac{3\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \, rad\]
Thời gian lò xo bị nén trong một chu kỳ là:
\[t_{nén} = \frac{\Delta\phi_{nén}}{\omega} = \frac{\pi/2}{10} = \frac{\pi}{20} \, s\]

Tổng thời gian trong một chu kỳ là \(T\). Vậy thời gian lò xo bị giãn là:
\[t_{giãn} = T – t_{nén}\]
\[t_{giãn} = \frac{\pi}{5} – \frac{\pi}{20} = \frac{4\pi}{20} – \frac{\pi}{20} = \frac{3\pi}{20} \, s\]

BƯỚC 4: TÍNH TỈ LỆ THỜI GIAN LÒ XO BỊ NÉN VÀ BỊ GIÃN

Tỉ lệ cần tìm là:
\[\frac{t_{nén}}{t_{giãn}} = \frac{\frac{\pi}{20}}{\frac{3\pi}{20}}\]
\[\frac{t_{nén}}{t_{giãn}} = \frac{1}{3}\]

KẾT LUẬN:
Vậy, tỉ lệ thời gian lò xo bị nén và bị giãn trong một chu kỳ là \(\frac{1}{3}\).

Thầy hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về dạng bài tập này. Hãy nhớ kỹ các bước làm và đặc biệt là cách xác định vị trí không biến dạng của lò xo để phân tích đúng các khoảng thời gian nén/giãn nhé! Chúc các em học tốt!