Chào em! Đây là một bài tập rất hay và cơ bản về các giá trị lượng giác, thường gặp trong chương trình Toán lớp 9. Chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết bài này một cách chi tiết và dễ hiểu nhất nhé!

Phân tích bài toán và các công thức cần nhớ:

Đề bài cho chúng ta giá trị của \(\text{tanx}\) và yêu cầu tính các giá trị lượng giác còn lại là \(\text{sinx}\), \(\text{cosx}\) và \(\text{cotx}\).

Để giải bài này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản đã được học ở lớp 9:

• Công thức liên hệ giữa \(\text{tanx}\) và \(\text{cotx}\): \[\text{cotx} = \frac{1}{\text{tanx}}\]
• Công thức liên hệ giữa \(\text{tanx}\) và \(\text{cosx}\): \[\text{1} + \text{tan}^2\text{x} = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
• Công thức liên hệ giữa \(\text{sinx}\), \(\text{cosx}\) và \(\text{tanx}\): \[\text{tanx} = \frac{\text{sinx}}{\text{cosx}} \Rightarrow \text{sinx} = \text{tanx} \cdot \text{cosx}\]
• (Hoặc công thức lượng giác cơ bản): \[\text{sin}^2\text{x} + \text{cos}^2\text{x} = 1\]

Lưu ý quan trọng: Ở lớp 9, khi không có thông tin gì thêm về góc \(\text{x}\), chúng ta thường mặc định xét \(\text{x}\) là một góc nhọn (tức là \(0^\circ < \text{x} < 90^\circ\)). Với các góc nhọn, tất cả các giá trị \(\text{sinx}\), \(\text{cosx}\), \(\text{tanx}\), \(\text{cotx}\) đều mang giá trị dương. Điều này sẽ giúp chúng ta chọn dấu khi lấy căn bậc hai.

Giải bài tập:

Cho \(\text{tanx} = \frac{2}{3}\).

Bước 1: Tính \(\text{cotx}\)

Chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa \(\text{tanx}\) và \(\text{cotx}\):
\[\text{cotx} = \frac{1}{\text{tanx}}\]
Thay giá trị \(\text{tanx} = \frac{2}{3}\) vào công thức, ta được:
\[\text{cotx} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}\]

Bước 2: Tính \(\text{cosx}\)

Chúng ta sử dụng công thức liên hệ giữa \(\text{tanx}\) và \(\text{cosx}\):
\[\text{1} + \text{tan}^2\text{x} = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
Thay giá trị \(\text{tanx} = \frac{2}{3}\) vào công thức, ta có:
\[\text{1} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
\[\text{1} + \frac{4}{9} = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
Quy đồng vế trái:
\[\frac{9}{9} + \frac{4}{9} = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
\[\frac{13}{9} = \frac{1}{\text{cos}^2\text{x}}\]
Từ đó, ta suy ra:
\[\text{cos}^2\text{x} = \frac{9}{13}\]
Vì \(\text{x}\) là góc nhọn (hoặc theo quy ước lớp 9), nên \(\text{cosx} > 0\). Ta lấy căn bậc hai:
\[\text{cosx} = \sqrt{\frac{9}{13}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{13}} = \frac{3}{\sqrt{13}}\]
Để làm đẹp kết quả (trục căn thức ở mẫu), ta nhân cả tử và mẫu với \(\sqrt{13}\):
\[\text{cosx} = \frac{3 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}\]

Bước 3: Tính \(\text{sinx}\)

Có hai cách phổ biến để tính \(\text{sinx}\) sau khi đã biết \(\text{tanx}\) và \(\text{cosx}\):

Cách 3a: Dùng công thức \(\text{tanx} = \frac{\text{sinx}}{\text{cosx}}\)
Từ công thức này, ta suy ra: \[\text{sinx} = \text{tanx} \cdot \text{cosx}\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[\text{sinx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3\sqrt{13}}{13}\]
\[\text{sinx} = \frac{2 \cdot \cancel{3} \cdot \sqrt{13}}{\cancel{3} \cdot 13}\]
\[\text{sinx} = \frac{2\sqrt{13}}{13}\]

Cách 3b: Dùng công thức \(\text{sin}^2\text{x} + \text{cos}^2\text{x} = 1\)
Từ công thức này, ta có: \[\text{sin}^2\text{x} = 1 – \text{cos}^2\text{x}\]
Thay giá trị \(\text{cos}^2\text{x} = \frac{9}{13}\) vào:
\[\text{sin}^2\text{x} = 1 – \frac{9}{13}\]
\[\text{sin}^2\text{x} = \frac{13}{13} – \frac{9}{13}\]
\[\text{sin}^2\text{x} = \frac{4}{13}\]
Vì \(\text{x}\) là góc nhọn (hoặc theo quy ước lớp 9), nên \(\text{sinx} > 0\). Ta lấy căn bậc hai:
\[\text{sinx} = \sqrt{\frac{4}{13}} = \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}\]
Trục căn thức ở mẫu:
\[\text{sinx} = \frac{2 \cdot \sqrt{13}}{\sqrt{13} \cdot \sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}\]
Cả hai cách đều cho cùng một kết quả, chứng tỏ tính đúng đắn của bài giải!

Kết luận:

Vậy, với \(\text{tanx} = \frac{2}{3}\), các giá trị lượng giác còn lại là:

• \(\text{cotx} = \frac{3}{2}\)
• \(\text{cosx} = \frac{3\sqrt{13}}{13}\)
• \(\text{sinx} = \frac{2\sqrt{13}}{13}\)

Em thấy đó, chỉ cần nắm vững các công thức cơ bản và áp dụng một cách cẩn thận là chúng ta có thể giải quyết được bài toán này. Hãy luyện tập thêm nhiều dạng bài tương tự để thành thạo hơn nhé! Chúc em học tốt!