Chào các em học sinh yêu quý của thầy/cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán xác suất thú vị từ chương trình Toán lớp 10. Bài toán này giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng sử dụng tổ hợp để tính toán xác suất. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bước 1: Xác định không gian mẫu

Đầu tiên, chúng ta cần xác định tổng số cách lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách từ kệ sách. Trên kệ sách có tổng cộng:
4 quyển Toán + 3 quyển Vật Lý + 5 quyển Hóa Học = 12 quyển sách.

Việc lấy 3 quyển sách từ 12 quyển sách mà không quan tâm đến thứ tự được gọi là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử. Chúng ta sử dụng công thức tổ hợp để tính số phần tử của không gian mẫu.

Công thức tính tổ hợp chập k của n phần tử là:
\( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

Trong trường hợp này, n = 12 (tổng số sách) và k = 3 (số sách cần lấy).
Vậy, số phần tử của không gian mẫu, ký hiệu là \( |\Omega| \), là:
\( |\Omega| = C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} \)
\( |\Omega| = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220 \)

Như vậy, có 220 cách khác nhau để lấy ngẫu nhiên 3 quyển sách từ kệ sách.

Bước 2: Xác định biến cố cần tính xác suất

Chúng ta cần tính xác suất để 3 quyển sách được lấy ra đều là sách Toán. Gọi biến cố này là A.
Để biến cố A xảy ra, chúng ta cần lấy ra 3 quyển sách từ 4 quyển sách Toán có sẵn trên kệ.

Tương tự như bước 1, chúng ta sử dụng công thức tổ hợp để tính số kết quả thuận lợi cho biến cố A.
Trong trường hợp này, n = 4 (số sách Toán) và k = 3 (số sách Toán cần lấy).
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A, ký hiệu là \( |A| \), là:
\( |A| = C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3!1!} \)
\( |A| = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1 \times 1} = 4 \)

Như vậy, có 4 cách khác nhau để lấy ra 3 quyển sách đều là sách Toán.

Bước 3: Tính xác suất của biến cố

Xác suất của một biến cố được tính bằng tỉ số giữa số kết quả thuận lợi cho biến cố đó và tổng số kết quả có thể xảy ra trong không gian mẫu.

Công thức tính xác suất là:
\( P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} \)

Thay các giá trị đã tính ở Bước 1 và Bước 2 vào công thức:
\( P(A) = \frac{4}{220} \)

Bước 4: Rút gọn kết quả

Chúng ta rút gọn phân số để có kết quả cuối cùng.
\( P(A) = \frac{4}{220} = \frac{1}{55} \)

Vậy, xác suất để 3 quyển sách được lấy ra đều là sách Toán là \( \frac{1}{55} \).

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán! Qua bài tập này, các em đã ôn lại cách sử dụng tổ hợp để đếm số phần tử và tính xác suất. Hãy ghi nhớ các bước làm và áp dụng cho những bài tập tương tự nhé!