câu cuối thôi
Một học sinh ném một vật có khối lượng 200g được ném thẳng đứng lê…
Một học sinh ném một vật có khối lượng 200g được ném thẳng đứng lên cao với vận tốc ban đầu 8 m/s từ độ cao 8m so với mặt đất. Bỏ qua lực cản không khí, Lấy g = 10m/s2.
a. Tính cơ năng của vật?
b. Tính độ cao cực đại?
c. Vận tốc của vật khi chạm đất?
d. Tính độ cao của vật mà tại đó động năng gấp 3 lần thế năng?
e. Tính vận tốc của vật mà tài đó thế năng bằng ½ động năng?
f. giả sử nếu có lực cản không đổi bằng 0,8N thì khi vật chạm đất vận tốc của nó bằng bao nhiêu?
Chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng câu của bài toán.
Câu d: Tính độ cao của vật mà tại đó động năng gấp 3 lần thế năng?
Để giải câu này, chúng ta sẽ sử dụng mối quan hệ giữa động năng, thế năng và cơ năng.
Chúng ta biết rằng cơ năng của vật được bảo toàn trong trường hợp không có lực cản.
Cơ năng W được tính bằng tổng động năng (W_đ) và thế năng (W_t):
W = W_đ + W_t
Theo đề bài, tại một thời điểm nào đó, động năng gấp 3 lần thế năng. Ta có biểu thức:
W_đ = 3 * W_t
Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế W_đ trong biểu thức tính cơ năng:
W = (3 * W_t) + W_t
W = 4 * W_t
Chúng ta đã tính được cơ năng của vật ở câu a là 104 J.
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng biểu thức thế năng:
W_t = m g h
Từ đó, ta có:
W = 4 (m g * h)
Chúng ta cần tìm độ cao h, nên ta sẽ biến đổi công thức để tìm h:
h = W / (4 m g)
Trước hết, chúng ta cần đổi đơn vị khối lượng từ gam sang kilogam:
m = 200 g = 0.2 kg
Bây giờ, thay các giá trị đã biết vào công thức tính h:
h = 104 J / (4 0.2 kg 10 m/s^2)
h = 104 J / (8 kg*m/s^2)
h = 13 m
Vậy, độ cao của vật mà tại đó động năng gấp 3 lần thế năng là 13 m.
—
Câu e: Tính vận tốc của vật mà tại đó thế năng bằng ½ động năng?
Tương tự như câu d, chúng ta sẽ dựa vào sự bảo toàn cơ năng và mối quan hệ giữa động năng và thế năng.
Cơ năng W = W_đ + W_t.
Theo đề bài, tại một thời điểm nào đó, thế năng bằng một nửa động năng:
W_t = 0.5 * W_đ
Thay thế W_t trong biểu thức tính cơ năng:
W = W_đ + (0.5 * W_đ)
W = 1.5 * W_đ
Chúng ta đã tính được cơ năng W = 104 J.
Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng biểu thức động năng:
W_đ = 0.5 m v^2
Từ đó, ta có:
W = 1.5 (0.5 m * v^2)
W = 0.75 m v^2
Chúng ta cần tìm vận tốc v, nên ta sẽ biến đổi công thức để tìm v^2 trước:
v^2 = W / (0.75 * m)
Thay các giá trị đã biết vào công thức tính v^2:
v^2 = 104 J / (0.75 * 0.2 kg)
v^2 = 104 J / 0.15 kg
v^2 ≈ 693.33 m^2/s^2
Bây giờ, chúng ta sẽ tính vận tốc v bằng cách lấy căn bậc hai của v^2:
v = sqrt(693.33) m/s
v ≈ 26.33 m/s
Vậy, vận tốc của vật mà tại đó thế năng bằng ½ động năng là khoảng 26.33 m/s.
—
Câu f: giả sử nếu có lực cản không đổi bằng 0,8N thì khi vật chạm đất vận tốc của nó bằng bao nhiêu?
Đối với câu này, chúng ta không thể áp dụng định luật bảo toàn cơ năng một cách trực tiếp vì có sự xuất hiện của lực cản. Thay vào đó, chúng ta sẽ sử dụng định lý biến thiên động năng hoặc nguyên lý công và biến thiên động năng.
Ta xét sự biến thiên động năng của vật từ lúc bắt đầu ném đến lúc chạm đất.
Độ biến thiên động năng bằng tổng công của tất cả các lực tác dụng lên vật.
Delta W_đ = W_tổng
Các lực tác dụng lên vật bao gồm trọng lực (P) và lực cản (F_c).
Công của trọng lực khi vật đi từ độ cao ban đầu (h_0 = 8m) đến mặt đất (h_f = 0m) là:
W_P = – Delta W_t = -(W_t_f – W_t_0) = -(m*g*h_f – m*g*h_0)
Vì h_f = 0, nên:
W_P = m g h_0
Công của lực cản: Lực cản luôn ngược chiều chuyển động. Khi vật đi lên, lực cản hướng xuống. Khi vật đi xuống, lực cản cũng hướng xuống. Tuy nhiên, để tính công của lực cản khi vật đi từ độ cao 8m đến mặt đất, ta cần biết quãng đường mà vật đi được.
Trước hết, ta cần tính độ cao cực đại mà vật đạt được khi không có lực cản (từ câu b), là h_max = 8 m. Tuy nhiên, với lực cản, độ cao cực đại sẽ nhỏ hơn.
Một cách khác là tính tổng quãng đường đi lên và đi xuống.
Xét công của lực cản. Lực cản là lực không đổi, có độ lớn F_c = 0.8 N.
Khi vật đi lên từ độ cao 8m đến độ cao cực đại h_max’, quãng đường đi lên là s_lên = h_max’ – 8.
Khi vật rơi từ độ cao cực đại h_max’ xuống mặt đất, quãng đường đi xuống là s_xuống = h_max’.
Tổng quãng đường là s = s_lên + s_xuống = h_max’ – 8 + h_max’ = 2*h_max’ – 8.
Tuy nhiên, việc xác định h_max’ với lực cản là phức tạp. Chúng ta có thể sử dụng định lý động năng một cách khác: Xét toàn bộ quá trình từ lúc ném đến lúc chạm đất.
Công của lực cản bằng F_c nhân với quãng đường mà vật đi được.
W_Fc = – F_c * s (dấu trừ vì lực cản ngược chiều chuyển động)
Sự biến thiên động năng từ lúc ném đến lúc chạm đất:
Delta W_đ = W_đ_chạm đất – W_đ_ban đầu
Delta W_đ = (0.5 m v_chạm đất^2) – (0.5 m v_0^2)
Tổng công của các lực:
W_tổng = W_P + W_Fc
Nếu xét cả quá trình đi lên và đi xuống, công của trọng lực sẽ là:
W_P = m g (h_0 – h_f) = m g (8 – 0) = m g 8.
Đây là công của trọng lực khi vật rơi từ độ cao 8m xuống mặt đất. Tuy nhiên, vật đi lên trước.
Cách tiếp cận khác: Xét sự thay đổi cơ năng với công của lực không bảo toàn.
Độ biến thiên cơ năng bằng công của lực không bảo toàn (lực cản).
Delta W = W_Fc
W_t_final + W_đ_final – (W_t_initial + W_đ_initial) = W_Fc
Tại thời điểm chạm đất, thế năng W_t_final = 0. Động năng W_đ_final = 0.5 m v_chạm đất^2.
Tại thời điểm ban đầu, thế năng W_t_initial = m g h_0. Động năng W_đ_initial = 0.5 m v_0^2.
Vậy:
(0 + 0.5 m v_chạm đất^2) – (m g h_0 + 0.5 m v_0^2) = W_Fc
Công của lực cản phụ thuộc vào tổng quãng đường đi được.
Gọi s là tổng quãng đường đi được cho đến khi chạm đất.
W_Fc = – F_c * s
Để tìm quãng đường s, ta cần biết độ cao cực đại mà vật đạt được khi có lực cản.
Vận tốc tại độ cao cực đại là 0.
Xét quá trình đi lên từ độ cao 8m đến độ cao cực đại h_max’.
Áp dụng định lý động năng:
0 – 0.5 m v_0^2 = Công của trọng lực + Công của lực cản
0 – 0.5 m v_0^2 = – m g (h_max’ – 8) – F_c * (h_max’ – 8)
– 0.5 m v_0^2 = -(m g + F_c) (h_max’ – 8)
h_max’ – 8 = (0.5 m v_0^2) / (m * g + F_c)
h_max’ = 8 + (0.5 m v_0^2) / (m * g + F_c)
m = 0.2 kg, v_0 = 8 m/s, g = 10 m/s^2, F_c = 0.8 N.
0.5 m v_0^2 = 0.5 0.2 8^2 = 0.1 * 64 = 6.4 J.
m g = 0.2 10 = 2 N.
m * g + F_c = 2 + 0.8 = 2.8 N.
h_max’ = 8 + 6.4 / 2.8
h_max’ = 8 + 2.2857
h_max’ ≈ 10.2857 m.
Tổng quãng đường đi lên là s_lên = h_max’ – 8 ≈ 10.2857 – 8 = 2.2857 m.
Tổng quãng đường đi xuống là s_xuống = h_max’ ≈ 10.2857 m.
Tổng quãng đường s = s_lên + s_xuống ≈ 2.2857 + 10.2857 = 12.5714 m.
Công của lực cản:
W_Fc = – F_c s = – 0.8 N 12.5714 m ≈ -10.057 J.
Bây giờ, áp dụng định lý động năng cho toàn bộ quá trình từ lúc ném đến lúc chạm đất:
Delta W_đ = W_P + W_Fc
Công của trọng lực khi đi từ độ cao 8m xuống mặt đất:
W_P = m g (h_0 – 0) = 0.2 10 8 = 16 J.
(0.5 m v_chạm đất^2) – (0.5 m v_0^2) = W_P + W_Fc
0.5 m v_chạm đất^2 – 6.4 J = 16 J + (-10.057 J)
0.5 m v_chạm đất^2 – 6.4 = 5.943
0.5 m v_chạm đất^2 = 5.943 + 6.4
0.5 m v_chạm đất^2 = 12.343
v_chạm đất^2 = 12.343 / (0.5 * m)
v_chạm đất^2 = 12.343 / (0.5 * 0.2)
v_chạm đất^2 = 12.343 / 0.1
v_chạm đất^2 = 123.43 m^2/s^2
v_chạm đất = sqrt(123.43) m/s
v_chạm đất ≈ 11.11 m/s.
Vậy, nếu có lực cản không đổi bằng 0.8N, thì khi vật chạm đất vận tốc của nó bằng khoảng 11.11 m/s.
a)
Chọn mốc thế năng tại mặt đất, cơ năng của vật:
+ Tại vị trí ném: \[{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_{{d_1}}} + {{\rm{W}}_{{t_1}}} = mgh + \dfrac{1}{2}mv_0^2 = 0,2.10.8 + \dfrac{1}{2}0,{2.8^2} = 22,4J\]
b)
Tại vị trí vật lên đến độ cao cực đại, cơ năng của vật: \[{{\rm{W}}_2} = mg{h_{max}}\]
Theo đl bảo toàn cơ năng ta có: \[{{\rm{W}}_1} = {{\rm{W}}_2}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow mg{h_{max}} = 22,4J\\ \Rightarrow {h_{max}} = \dfrac{{22,4}}{{0,2.10}} = 11,2m\end{array}\)
c)
Cơ năng của vật khi chạm đất: \[{{\rm{W}}_3} = \dfrac{1}{2}m{v^2}\]
Theo đl bảo toàn cơ năng, ta có: \[{{\rm{W}}_3} = {W_1}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}m{v^2} = 22,4\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{22,4.2}}{{0,2}}} = 4\sqrt {14} \left( {m/s} \right)\end{array}\)
d)
Tại vị trí có động năng bằng 3 lần thế năng: \[{{\rm{W}}_d} = 3{W_t}\]
Cơ năng tại vị trí đó: \[{{\rm{W}}_4} = {{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_t} = 4{W_t}\]
Theo đl bảo toàn cơ năng ta có: \[{{\rm{W}}_4} = {{\rm{W}}_1}\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow 4{W_t} = {{\rm{W}}_1} = 22,4\\ \Leftrightarrow 4mgh = 22,4\\ \Rightarrow h = \dfrac{{22,4}}{{4.0,2.10}} = 2,8m\end{array}\)
e)
Tại vị trí thế năng bằng ½ động năng: \[{{\rm{W}}_t} = \dfrac{1}{2}{{\rm{W}}_d}\]
Cơ năng tại vị trí đó: \[{{\rm{W}}_5} = {{\rm{W}}_t} + {{\rm{W}}_d} = \dfrac{1}{2}{{\rm{W}}_d} + {{\rm{W}}_d} = \dfrac{3}{2}{{\rm{W}}_d}\]
Theo đl bảo toàn cơ năng, ta có: \[{{\rm{W}}_5} = {{\rm{W}}_1} = 22,4\]
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{3}{2}{{\rm{W}}_d} = 22,4\\ \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\dfrac{1}{2}m{v^2} = 22,4\\ \Rightarrow v = \sqrt {\dfrac{{22,4.4}}{{3.0,2}}} = 12,2m/s\end{array}\)
f)
Chọn mốc thế năng tại vị trí ném:
Gọi H là vị trí cực đại mà vật lên được khi chịu tác dụng của lực cản
Theo định lí động năng, ta có:
\(\begin{array}{l}{A_P} + {A_{{F_c}}} = {{\rm{W}}_{{d_H}}} – {{\rm{W}}_{{d_1}}}\\ \Leftrightarrow – mgH – F.H = 0 – \dfrac{1}{2}mv_0^2\\ \Rightarrow H = 2,29m\end{array}\)
Khi đó độ cao cực đại vật lên tới so với mặt đất là: \(S = 2,29 + 8 = 10,29m\)
Áp dụng định lí động năng cho 2 vị trí cực đại và vị trí khi vật chạm đất ta có:
\(\begin{array}{l}{A_P} + {A_{{F_C}}} = \dfrac{1}{2}m{v^2} – 0\\ \Leftrightarrow mg.S – F.S = \dfrac{1}{2}m{v^2}\\ \Rightarrow v = 11,11m/s\end{array}\)