Chào các em, thầy sẽ hướng dẫn các em giải bài tập này một cách chi tiết và dễ hiểu, đúng theo kiến thức Toán lớp 7 của chúng ta nhé.

Phân tích bài toán:
Chúng ta được cho một thông tin là biểu thức \(3a+2b\) chia hết cho 17.
Nhiệm vụ của chúng ta là phải chứng minh rằng biểu thức \(10a+b\) cũng chia hết cho 17.

Phương pháp giải:
Ý tưởng chính là chúng ta sẽ tìm cách biến đổi biểu thức cần chứng minh (\(10a+b\)) hoặc một bội số của nó (ví dụ như \(2(10a+b)\), \(3(10a+b)\),…) để làm xuất hiện biểu thức đã cho (\(3a+2b\)). Khi đó, ta có thể sử dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu để suy ra điều phải chứng minh.

Bài giải chi tiết:

Bước 1: Tìm cách liên kết hai biểu thức
Ta nhận thấy hệ số của \(b\) trong hai biểu thức là 2 và 1. Để chúng giống nhau, ta có thể nhân biểu thức \(10a+b\) với 2.

Ta đặt \(A = 3a+2b\) và \(B = 10a+b\).

Theo đề bài, ta có \(A\) chia hết cho 17. Ta cần chứng minh \(B\) chia hết cho 17.

Xét biểu thức \(2B\):
\[2B = 2(10a+b) = 20a+2b\]

Bước 2: Biến đổi để làm xuất hiện biểu thức đã cho
Bây giờ, ta sẽ biến đổi biểu thức \(20a+2b\) để có chứa biểu thức \(A = 3a+2b\).

Ta có thể tách \(20a\) ra như sau:
\[20a+2b = 17a + 3a + 2b\]
Nhóm các hạng tử lại, ta được:
\[20a+2b = 17a + (3a+2b)\]

Bước 3: Sử dụng các tính chất về chia hết để lập luận
Bây giờ chúng ta hãy xem xét tổng \(17a + (3a+2b)\).

• Ta có \(17a\) luôn chia hết cho 17 (vì 17 chia hết cho 17).
• Theo đề bài, ta lại có \(3a+2b\) chia hết cho 17.

Áp dụng tính chất chia hết của một tổng: Nếu hai số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng đó cũng chia hết cho số đó.

Do đó, tổng \((17a) + (3a+2b)\) chia hết cho 17.

Mà tổng này chính là biểu thức \(20a+2b\) mà chúng ta đã biến đổi ở trên.

Suy ra, \(20a+2b\) chia hết cho 17, hay \(2(10a+b)\) chia hết cho 17.

Bước 4: Suy ra điều phải chứng minh
Ta có tích của \(2\) và \((10a+b)\) chia hết cho 17.

Ta biết rằng 2 và 17 là hai số nguyên tố cùng nhau (vì ước chung lớn nhất của chúng là 1).

Theo tính chất chia hết của một tích, nếu một tích chia hết cho một số, mà một thừa số không chia hết cho số đó, thì thừa số còn lại phải chia hết cho số đó.

Vì \(2(10a+b)\) chia hết cho 17 và 2 không chia hết cho 17, nên thừa số còn lại là \(10a+b\) phải chia hết cho 17.

Kết luận:
Vậy, nếu \(3a+2b\) chia hết cho 17 thì \(10a+b\) cũng chia hết cho 17. (Điều phải chứng minh).

Chúc các em học tốt