Hôm nay, thầy sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán lượng giác rất cơ bản nhưng cũng rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Dạng bài này yêu cầu chúng ta từ một tỉ số lượng giác đã biết, tìm ra các tỉ số còn lại. Chúng ta sẽ áp dụng các hệ thức lượng giác cơ bản đã học.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, chúng ta cần nhớ rằng trong chương trình lớp 9, góc ∝ mà chúng ta xét là một góc nhọn (tức là \( 0^\circ < \alpha < 90^\circ \)). Điều này rất quan trọng vì nó đảm bảo tất cả các tỉ số lượng giác (sin, cos, tan, cot) của góc ∝ đều mang giá trị dương.

• Bước 1: Tính sin ∝
  Lý do áp dụng: Chúng ta có mối liên hệ trực tiếp giữa sin ∝ và cos ∝ thông qua một công thức rất quen thuộc. Đây là hệ thức lượng giác cơ bản nhất.
  
  Áp dụng công thức: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \)
  
  Từ đó, ta suy ra:
  
  \( \sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha \)
  
  Thay giá trị \( \cos\alpha = \frac{2}{3} \) vào công thức, ta được:
  
  \( \sin^2\alpha = 1 – \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 – \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \)
  
  Vì ∝ là góc nhọn nên \( \sin\alpha > 0 \). Do đó, chúng ta sẽ lấy căn bậc hai và chỉ chọn giá trị dương:
  
  \( \sin\alpha = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)
  
  Vậy, chúng ta đã tìm được \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \).
• Bước 2: Tính tan ∝
  Lý do áp dụng: Khi đã biết sin ∝ và cos ∝, ta dùng công thức định nghĩa của tan ∝ để tính toán.
  
  Áp dụng công thức: \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \)
  
  Thay các giá trị \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \) và \( \cos\alpha = \frac{2}{3} \) vào, ta có:
  
  \( \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
  
  Vậy, chúng ta đã tìm được \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \).
• Bước 3: Tính cot ∝
  Lý do áp dụng: Để tính cot ∝, cách nhanh nhất là sử dụng mối quan hệ giữa tan ∝ và cot ∝. Hai tỉ số này là nghịch đảo của nhau.
  
  Áp dụng công thức: \( \tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1 \) hay \( \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \)
  
  Thay giá trị \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \) vào, ta được:
  
  \( \cot\alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)
  
  Để kết quả đẹp hơn, chúng ta nên trục căn thức ở mẫu:
  
  \( \cot\alpha = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)
  
  Vậy, chúng ta đã tìm được \( \cot\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} \).

Tổng kết kết quả:

Từ giá trị ban đầu là \( \cos\alpha = \frac{2}{3} \), chúng ta đã tìm được các tỉ số lượng giác còn lại:

• \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \)
• \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{5}}{2} \)
• \( \cot\alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5} \)

Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững kiến thức hơn. Chúc các em học tốt